Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 15:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2023, 10:29
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорему формулируют приблизительно так:
Если при бесконечно малом преобразовании координат и времени вида [math]{q_i}' = q_i + \varepsilon \Phi_i (q,t)[/math], [math]t' = t + \varepsilon X(q,t)[/math] не меняется вид действия [math]\int\limits_{t_1}^{t_2} L (q,\dot{q},t)dt = \int\limits_{t_1'}^{t_2'} L (q',\dot{q'},t')dt'[/math], то величина [math]\sum\limits_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i} }(\dot{q_i} X - \Phi_i) - LX[/math] есть интеграл движения
Доказательство начинают с таких слов: Пусть первоначальная траектория системы [math]q_i = f_i(t)[/math], тогда так как вид действия не меняется, то равенство [math]q_i'= f_i(t')[/math] так же действительная траектория системы
И тут у меня возникает вопрос. Я могу получить траекторию из уравнения Лагранжа в том случае, если мне, например, заданы граничные условия [math]q(t_1) = q_1, q(t_2) = q_2[/math](ограничимся одномерным случаем) . И пусть я с такими условиями получил траекторию [math]q_i = f_i(t)[/math]. Тогда, для того что бы вторая траектория была аналогична первой, мне бы еще хотелось помимо сохранения действия( или вывести ИЗ сохранения действия) предоположение что [math]q'(t_1) = q_1, q' (t_2) = q_2[/math], и тогда по идее уже функция [math]f_i[/math] будет траекторией и в штрихованых координатах. Одним словом, мне не очевидно что при преобразования координат при условии сохранения действия у нас сохраняется траектории.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 16:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1104
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
143 раз в 139 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VitalikTitan писал(а):
Теорему формулируют приблизительно так:

По-разному формулируют. Это дело вкуса и личного опыта. Ведь есть еще гамильтонова версия этой теоремы, которая на самом деле является обобщением, и эта гамильтонова версия уже в вариационный принцип не вкладывается.

Я предпочитаю такую формулировку. Рассмотрим лагранжиан [math]L=L(x,\dot x),[/math]
где [math]x=(x^1,\ldots,x^m)[/math] -- локальные координаты на конфигурационном многообразии M.

Пусть [math]g^s \,\colon M\to M[/math] -- однопараметрическая группа диффеоморфизмов, сгенерированная векторным полем [math]v(x)=(v^i).[/math]

Лагранжева система инвариантна относительно действия этой группы если
[math]L\Big(g^s(x),\frac{\partial g^s(x)}{\partial x}\dot x\Big)=L(x,\dot x),\quad \forall s.[/math]

Теорема (Нетер). Если Лагранжева система инвариантна относительно действия указанной группы,
то
[math]I(x)=\frac{\partial L}{\partial\dot x^i}v^i[/math]
-- первый интеграл.
Неавтономеый случай сводится к этому с помощью фокуса из [В. Арнольд: Математические методы классической механики]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 16:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2023, 10:29
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel
Эти страшные слова мне мало о чем говорят)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 17:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1104
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
143 раз в 139 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, не знаю. Вот перечитал монографию Арнольда. Там ровно такая формулировка, что я привел.
Болотин Карапетян Кугущев Трещев Теор. механика
и
Abraham R., Marsden J.E. - Foundations of mechanics (2ed., AW, 1987)-- тож.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 18:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2023, 10:29
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel Ну это все либо для математиков либо для дофига умных физиков. Ни тем, ни тем я не являюсь))
Та формулировка и начало доказательства что я привел есть в Халилов, Чижов, "Динамика классических систем" а так же Коткин, Сербо "Лекции по аналитической механике"
Я понимаю что формулировки и доказательства разные, просто я хотел бы понять именно это доказательство, ибо его последующие шаги очень просты и легко доказывают эту теорему

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 18:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1104
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
143 раз в 139 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказательство которое вы изучаете, только кажется простым. <<Простота>> там достигается за счет неаккуратности и заглатывания деталей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 18:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2023, 10:29
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel
Похоже так и есть. Тот нюанс который я в первом сообщении описал, можно как то доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 19:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1104
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
143 раз в 139 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно, но где это прочитать я не знаю. В книжках с аккуратной математикой, как видите, к теореме Нетер подходят несколько иначе. И это, кстати, более прямой способ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 28 фев 2024, 20:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2023, 10:29
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ладно, тогда подождем, может у кого-то будут некие соображения, да и я подумаю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве Теоремы Нетер
СообщениеДобавлено: 02 мар 2024, 19:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1104
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
143 раз в 139 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самообразование оно как самолечение -- занятие увлекательное, но совершенно контрпродуктивное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Переход в доказательстве теоремы Штольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

olivia_jane

4

494

12 янв 2015, 13:40

Непонятный мометн в доказательстве теоремы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

1

419

10 сен 2015, 05:09

Проблема в доказательстве простой теоремы

в форуме Геометрия

Math137

8

208

12 май 2023, 15:46

Несколько непонятных аспектов в доказательстве теоремы

в форуме Геометрия

vladislavmurencov

3

441

03 дек 2016, 15:48

[РЕШЕНО] Непонятны шаги в доказательстве теоремы

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vasiliusis

1

303

20 фев 2019, 13:11

Простой вопрос. Непонятны выкладка в доказательстве теоремы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vasiliusis

6

212

21 фев 2019, 09:03

Проблема в доказательстве

в форуме Геометрия

Math137

2

64

19 янв 2024, 12:53

О доказательстве Уайлса

в форуме Палата №6

Spirin

49

1021

25 мар 2022, 10:15

Ошибка в доказательстве

в форуме Объявления участников Форума

Brat_OK

0

384

20 янв 2016, 12:59

О доказательстве Гёделя

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

a-parfenov

0

233

24 фев 2023, 11:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved