Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение Лапласа в полушаре со странными краевыми условиями
СообщениеДобавлено: 14 янв 2024, 19:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 янв 2024, 18:56
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! Попалась какая-то нестандартная задача по матфизике, уже неделю решаю, не получается.

Нужно решить уравнение Лапласа [math]\Delta u = 0[/math] в полушаре [math]\{|x| < R, x_3 > 0\} \subset \mathbb R^3[/math] с условиями [math]u|_{|x|=R} = 0, \frac{\partial u}{\partial x_3}|_{x_3 = 0} = q[/math] (константа).

Если писать по-стандартному лаплас в сферических координатах, потом разделение переменных, то очень быстро получится неподходящее решение [math]u = 0[/math].

Еще я попробовал разбить эту задачу на две.
(1) [math]\Delta w = 0, \frac{\partial w}{\partial x_3}|_{x_3 = 0} = q[/math] в полупространстве [math]\{x_3 > 0\}[/math].
У этой задачи решение [math]w = qx_3[/math], в сферических координатах это [math]w = qr\cos\theta[/math]. Надо отметить, что на границе исходного полушара это решение принимает значения [math]w(R, \theta) = q R \cos\theta[/math].

(2) [math]\Delta v = 0, v|_{|x| = R} = -q R \cos\theta, \frac{\partial v}{\partial x_3}|_{x_3 = 0} = 0.[/math]

Если умеем решать (2), то решение исходной задачи есть [math]u = w+v[/math]. А как решать (2) мне что-то непонятно. Если опять же писать сферические координаты и разделение переменных, там получается [math]v = -qr\cos\theta[/math], и баста, [math]u = 0[/math].

Буду признателен за помощь или новые идеи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Лапласа в полушаре со странными краевыми условиями
СообщениеДобавлено: 14 янв 2024, 19:56 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1001
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
121 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
видимо надо функцию Грина строить методом отражений. Сначала для полупространства

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение лапласа с краевыми условиями

в форуме Интегральное исчисление

AiG

0

264

13 окт 2015, 12:53

Решить неоднородное уравнение теплопроводности с краевыми

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ANDRVAY

0

522

22 окт 2017, 21:17

Ищу функции со странными свойствами

в форуме Объявления участников Форума

Aberone

0

217

04 авг 2020, 16:22

Неоднородное рекуррентное уравнение с начальными условиями

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vlad97881

4

575

06 апр 2019, 15:34

Однородное рекуррентное уравнение с начальными условиями

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vlad97881

1

737

05 апр 2019, 23:06

Сложное Дифференциальное уравнение с пограничными условиями

в форуме Дифференциальное исчисление

MIXA066

2

168

27 ноя 2018, 20:08

Уравнение Лапласа

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

slverwolf

7

386

24 дек 2020, 13:23

Уравнение Лапласа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Snofr

2

413

10 мар 2018, 09:29

Дифференциальное уравнение Лапласа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Tatyana_vinogradova

0

260

02 окт 2016, 13:12

Неоднородное уравнение Лапласа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mr_Cat

5

788

03 апр 2014, 20:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved