Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гамильтониан Электромагнитного поля
СообщениеДобавлено: 05 мар 2023, 22:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 мар 2023, 21:08
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан Лагранжиан вида


[math]\begin{gathered} L(q,q',t) = \frac{{m\overrightarrow {(r'} {)^2}}}{2} - e\varphi + \frac{e}{c}\left( {\overrightarrow r ,\overrightarrow A } \right) \hfill \\ {q_i}' = \frac{{d{q_i}}}{{dt}}; \hfill \\ i = 3 \hfill \\ \overrightarrow r = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k ; \hfill \\ \varphi = \varphi (r,t); \hfill \\ \overrightarrow A = \overrightarrow A (r,t); \hfill \\ e = const; \hfill \\ m = const; \hfill \\ c = const; \hfill \\ \overrightarrow E = - grad\varphi - \frac{1}{c}\frac{{\delta A}}{{\delta t}} \hfill \\ \overrightarrow H = rot\overrightarrow A \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Из него я уже получил уравнение Лагранжа, описывающее 2 закон Ньютона для электромагнитного поля (например, для x, там у векторного произведения берется x компонента):


[math]mx'' = e{E_x} + \frac{e}{c}[r' \times \overrightarrow H ][/math]


Мне из этого Лагранжиана нужно было вывести уравнение Гамильтона, которое бы давало такое же уравнение, что и уравнение выше для x.
Гамильтониан я вывел, нашел одно из уравнений Гамильтона для x:


[math]\begin{gathered}
{p_x} = mx' + \frac{e}{c}{A_x}; \hfill \\ H(x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}) = \frac{1}{{2m}}{(p - \frac{e}{c}\overrightarrow A )^2} + e\varphi ; \hfill \\ x' = \frac{{\delta H}}{{\delta {p_x}}} = ({p_x} - \frac{e}{c}{A_x})\frac{1}{m}; \hfill \\ mx'' = {p_x}' - \frac{e}{c}(\frac{{\delta {A_x}}}{{\delta t}} + \frac{{\delta {A_x}}}{{\delta x}}x' + \frac{{\delta {A_y}}}{{\delta y}}y' + \frac{{\delta {A_z}}}{{\delta z}}z'); \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} + \frac{e}{c}\frac{{\delta ({A_x}x' + {A_y}y' + {A_z}z')}}{{\delta x}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]



И у меня вопрос насчет последнего уравнения. По идее оно должно быть таким, каким я его написал. Тогда у нас все выйдет то же самое, что и для Лагранжиана, и потом выйдет 2 закон Ньютона для электромагнитного поля. Но я никак не могу найти частную производную Гамильтониана по x (или y,z).
У меня есть уравнение для импульса, который я нашел. Если я перенесу крайнее слагаемое правой части уравнения в левую часть, а затем возведу в квадрат, то получу (mx')^2, но частная производная от него по x есть ноль, разве не так? Тогда должно выйти 0 + e*phi? Но в этом случае у меня ничего не выйдет.
Если я разложу квадрат, то у меня выйдет ~(A *e/c)^2, который не сокращается.


[math]\begin{gathered} {p_x} = mx' + \frac{e}{c}{A_x}; \hfill \\ H(x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}) = \frac{1}{{2m}}{(p - \frac{e}{c}\overrightarrow A )^2} + e\varphi ; \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} - \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta (0 + {{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2} - 2\frac{e}{c}\left( {\overrightarrow A ,p} \right))}}{{\delta x}}; \hfill \\ \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta ({{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2} - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}{p_x} + {A_y}{p_y} + {A_z}{p_z}} \right))}}{{\delta x}}; \hfill \\ - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}{p_x} + {A_y}{p_y} + {A_z}{p_z}} \right) = - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}mx' + \frac{e}{c}{A_x}^2 + {A_y}my' + \frac{e}{c}{A_y}^2 + {A_z}mz' + \frac{e}{c}{A_z}^2} \right) \hfill \\ - 2\frac{e}{c}{A_x}mx' - 2{(\frac{e}{c}{A_x})^2} + {(\frac{e}{c}\overrightarrow {{A_x}} )^2} = - 2\frac{e}{c}{A_x}mx' - {(\frac{e}{c}{A_x})^2} \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} + \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta ({{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2})}}{{\delta x}} + \frac{{\delta (\frac{e}{c}{A_x}x' + ...)}}{{\delta x}}& \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Что я делаю не так? Можете разъяснить как находить эту производную и решение? Может частная производная по квадрату импульса не равна нулю и его нужно выразить как-то иначе? Но если и выражу импульс через mx'+A, то у меня в итоге вообще ноль выходит, о чем я говорил ранее (там выйдет mx' в квадрате, а по нему производная даст ноль).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гамильтониан Электромагнитного поля
СообщениеДобавлено: 06 мар 2023, 10:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1067
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
To [math]\mathsf{a} \mathsf{r} \mathsf{v} \mathsf{r} \mathsf{o} \mathsf{d} \mathsf{i} \mathsf{u} \mathsf{m}[/math]__
В целях экономии времени выкладываю "изображение" листа рукописи.
Использую стандартные обозначения (чего и вам желаю): производная по времени - точка над обозначением соответствующей функции, [math]\vec{ \mathsf{P} }[/math] (заглавное) - обобщённый импульс, [math]\vec{ \mathsf{p} }[/math] (строчная)- обычный импульс. Проблема в последних 3-х строках ( с формулами) вашего поста. Их трудно назвать математическими выкладками .
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить ускорение электромагнитного поезда

в форуме Электричество и Магнетизм

Rawitj

1

276

02 июн 2020, 23:10

Гамильтониан на эллиптической орбите

в форуме Механика

flyagka

0

191

25 ноя 2018, 14:49

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marina11111

1

784

01 фев 2020, 14:34

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Artyr95

1

1617

27 май 2014, 07:24

Потенциал поля

в форуме Дифференциальное исчисление

kroser

2

309

05 мар 2021, 00:15

Вид электрического поля

в форуме Электричество и Магнетизм

Higherthanenlil

1

340

15 авг 2016, 19:47

Поток поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

God_mode_2016

6

425

02 дек 2020, 19:20

Кольца и поля

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Viktor963p0

5

383

27 фев 2017, 11:11

Поля частных

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

julya1997

0

212

12 янв 2017, 20:12

Потенциал поля

в форуме Интегральное исчисление

paul_woker

9

179

03 май 2020, 16:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved