Гамильтониан Электромагнитного поля

Дан Лагранжиан вида


[math]\begin{gathered} L(q,q',t) = \frac{{m\overrightarrow {(r'} {)^2}}}{2} - e\varphi + \frac{e}{c}\left( {\overrightarrow r ,\overrightarrow A } \right) \hfill \\ {q_i}' = \frac{{d{q_i}}}{{dt}}; \hfill \\ i = 3 \hfill \\ \overrightarrow r = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k ; \hfill \\ \varphi = \varphi (r,t); \hfill \\ \overrightarrow A = \overrightarrow A (r,t); \hfill \\ e = const; \hfill \\ m = const; \hfill \\ c = const; \hfill \\ \overrightarrow E = - grad\varphi - \frac{1}{c}\frac{{\delta A}}{{\delta t}} \hfill \\ \overrightarrow H = rot\overrightarrow A \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Из него я уже получил уравнение Лагранжа, описывающее 2 закон Ньютона для электромагнитного поля (например, для x, там у векторного произведения берется x компонента):


[math]mx'' = e{E_x} + \frac{e}{c}[r' \times \overrightarrow H ][/math]


Мне из этого Лагранжиана нужно было вывести уравнение Гамильтона, которое бы давало такое же уравнение, что и уравнение выше для x.
Гамильтониан я вывел, нашел одно из уравнений Гамильтона для x:


[math]\begin{gathered}
{p_x} = mx' + \frac{e}{c}{A_x}; \hfill \\ H(x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}) = \frac{1}{{2m}}{(p - \frac{e}{c}\overrightarrow A )^2} + e\varphi ; \hfill \\ x' = \frac{{\delta H}}{{\delta {p_x}}} = ({p_x} - \frac{e}{c}{A_x})\frac{1}{m}; \hfill \\ mx'' = {p_x}' - \frac{e}{c}(\frac{{\delta {A_x}}}{{\delta t}} + \frac{{\delta {A_x}}}{{\delta x}}x' + \frac{{\delta {A_y}}}{{\delta y}}y' + \frac{{\delta {A_z}}}{{\delta z}}z'); \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} + \frac{e}{c}\frac{{\delta ({A_x}x' + {A_y}y' + {A_z}z')}}{{\delta x}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


И у меня вопрос насчет последнего уравнения. По идее оно должно быть таким, каким я его написал. Тогда у нас все выйдет то же самое, что и для Лагранжиана, и потом выйдет 2 закон Ньютона для электромагнитного поля. Но я никак не могу найти частную производную Гамильтониана по x (или y,z).
У меня есть уравнение для импульса, который я нашел. Если я перенесу крайнее слагаемое правой части уравнения в левую часть, а затем возведу в квадрат, то получу (mx')^2, но частная производная от него по x есть ноль, разве не так? Тогда должно выйти 0 + e*phi? Но в этом случае у меня ничего не выйдет.
Если я разложу квадрат, то у меня выйдет ~(A *e/c)^2, который не сокращается.


[math]\begin{gathered} {p_x} = mx' + \frac{e}{c}{A_x}; \hfill \\ H(x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}) = \frac{1}{{2m}}{(p - \frac{e}{c}\overrightarrow A )^2} + e\varphi ; \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} - \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta (0 + {{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2} - 2\frac{e}{c}\left( {\overrightarrow A ,p} \right))}}{{\delta x}}; \hfill \\ \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta ({{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2} - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}{p_x} + {A_y}{p_y} + {A_z}{p_z}} \right))}}{{\delta x}}; \hfill \\ - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}{p_x} + {A_y}{p_y} + {A_z}{p_z}} \right) = - 2\frac{e}{c}\left( {{A_x}mx' + \frac{e}{c}{A_x}^2 + {A_y}my' + \frac{e}{c}{A_y}^2 + {A_z}mz' + \frac{e}{c}{A_z}^2} \right) \hfill \\ - 2\frac{e}{c}{A_x}mx' - 2{(\frac{e}{c}{A_x})^2} + {(\frac{e}{c}\overrightarrow {{A_x}} )^2} = - 2\frac{e}{c}{A_x}mx' - {(\frac{e}{c}{A_x})^2} \hfill \\ p' = - \frac{{\delta H}}{{\delta x}} = - e\frac{{\delta \varphi }}{{\delta x}} + \frac{1}{{2m}}\frac{{\delta ({{(\frac{e}{c}\overrightarrow A )}^2})}}{{\delta x}} + \frac{{\delta (\frac{e}{c}{A_x}x' + ...)}}{{\delta x}}& \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Что я делаю не так? Можете разъяснить как находить эту производную и решение? Может частная производная по квадрату импульса не равна нулю и его нужно выразить как-то иначе? Но если и выражу импульс через mx'+A, то у меня в итоге вообще ноль выходит, о чем я говорил ранее (там выйдет mx' в квадрате, а по нему производная даст ноль).

To [math]\mathsf{a} \mathsf{r} \mathsf{v} \mathsf{r} \mathsf{o} \mathsf{d} \mathsf{i} \mathsf{u} \mathsf{m}[/math]__
В целях экономии времени выкладываю "изображение" листа рукописи.
Использую стандартные обозначения (чего и вам желаю): производная по времени - точка над обозначением соответствующей функции, [math]\vec{ \mathsf{P} }[/math] (заглавное) - обобщённый импульс, [math]\vec{ \mathsf{p} }[/math] (строчная)- обычный импульс. Проблема в последних 3-х строках ( с формулами) вашего поста. Их трудно назвать математическими выкладками .