Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 21 дек 2021, 16:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Связь поверхностного натяжения [math]\sigma[/math] с энтальпией испарения [math]\Delta H[/math]

Это моя давнишняя идея – связать [math]\sigma[/math] и [math]\Delta H[/math] . То, что между ними должна существовать связь, очевидно: оба эффекта обусловлены действием одних и тех же сил (Ван-дер-Ваальса).
Однако [math]\sigma[/math] – это свободная энергия Гиббса единицы поверхности [math]\Delta G[/math] [math]\left( \frac{ J }{ m^{2} } \right)[/math], а [math]\Delta H \left( \frac{ J }{ mol } \right)[/math] – мольная энтальпия испарения. Чтобы их сопоставить, нужно знать, какую площадь на поверхности занимают [math]{N_{A} }[/math] молекул (число Авогадро), а также пересчитать свободную энергию Гиббса в энтальпию. Для последнего имеется формула Гиббса–Гельмгольца [math]\Delta G= \Delta H-T \Delta S[/math]; при этом [math]\Delta S=-\left( \frac{\partial \sigma }{\partial T} \right)_{p}[/math], откуда
[math]\Delta H= \sigma -T \left(\frac{\partial \sigma }{\partial T} \right)_{p}[/math].

Теперь о мольной площади.

Обозначим мольный объем жидкости как [math]V[/math]. Объем одной молекулы [math]v=\frac{ V }{ N_{A} }[/math] , a занимаемая ею площадь с точностью до постоянного множителя [math]K[/math] равна [math]v^{2 \slash 3}=K\left( \frac{ V }{ N_{A} } \right)^{2 \slash 3}[/math]. Включая число Авогадро в константу, получаем мольную площадь:
[math]A=kV^{2 \slash 3}[/math]

Далее. Мольную энтальпию поверхности можно вычислить двумя способами: 1) сначала пересчитать поверхностное натяжение в энтальпию единицы поверхности, а потом пересчитать последнюю в мольную поверхность; 2) сначала пересчитать поверхностное натяжение в энергию Гиббса мольной поверхности , а потом пересчитать в энтальпию.
По первому пути:
[math]\Delta H=kV^{2 \slash 3}\left( \sigma -T\frac{\partial \sigma }{\partial T} \right)[/math]

По второму пути: [math]\Sigma =kV^{ 2\slash 3} \sigma[/math], [math]\Delta H= \Sigma -T\frac{\partial \Sigma }{\partial T} = kV^{2 \slash 3} \sigma -kT\left( \frac { 2 }{ 3 }V^{-1 \slash 3} \frac{\partial V}{\partial T} \sigma +V^{2 \slash 3}\frac{\partial \sigma}{\partial T} \right)[/math] ,
откуда, после ряда элементарных преобразований, окончательно
[math]\Delta H=kV^{2 \slash 3}\left( \sigma -T\frac{\partial \sigma }{\partial T}- \sigma \frac{ 2T }{ 3V } \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \right)[/math]

Последний член в скобках не равен нулю, т.к. [math]V[/math] зависит от [math]T[/math].
Получается, что результат зависит от пути решения.
Как такое может быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 26 дек 2021, 03:47 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Последний член в скобках не равен нулю, т.к. V зависит от T.

Вы, видимо, учитываете тепловое расширение жидкости? Тогда и ваша "мольная площадь" [math]A=kV^{2 \slash 3}[/math] тоже должна зависеть от Т, а вы её в "первом пути" вынесли из под производной по Т как константу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Exzellenz
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 27 дек 2021, 20:47 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не согласен.
Мольная площадь, возможно, зависит от температуры, но в первом пути ее дифференцировать не нужно.
Попытаюсь объяснит еще раз, подробнее.
По первому пути поверхностное натяжение [math]\sigma[/math] (свободная энергия Гиббса квадратного метра поверхности) сначала пересчитывается в энтальпию одного квадратного метра:
[math]\Delta h= \sigma -T \left(\frac{\partial \sigma }{\partial T} \right)_{p}[/math]
А потом эта энтальпия пересчитывается в энтальпию одного моля. Для этого [math]\Delta h[/math] нужно умножить на мольную площадь [math]A=kV^{2 \slash 3}[/math]. И никакого более дифференцирования. Результат как в моем первом посте:
[math]\Delta H=A \Delta h=kV^{2 \slash 3}\left( \sigma -T\frac{\partial \sigma z}{\partial T} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 28 дек 2021, 00:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Противоречие, изложенное в моем первом посте (21 дек 2021, 16:50), я решал следующим образом:
Коэффициент [math]k[/math] (т.е. «плотность упаковки» молекул на поверхности жидкости) – не константа, а функция температуры.
Тогда вычисления по второму пути примут вид:
[math]\Delta H= \Sigma -T\frac{\partial \Sigma }{\partial T}=kV^{2 \slash 3} \sigma -T\frac{\partial k}{\partial T}V^{2 \slash 3} \sigma -Tk\frac{ 2 }{ 3 }V^{-1 \slash 3}\frac{\partial V}{\partial T} \sigma-TkV^{2 \slash 3}\frac{\partial \sigma }{\partial T}=kV^{2 \slash 3}\left( \sigma -T\frac{\partial \sigma }{\partial T}-\frac{ T \sigma }{ k }\frac{\partial k}{\partial T}-\frac{ 2T }{ 3V } \sigma \frac{\partial V}{\partial T} \right)[/math].

Чтобы этот результат согласовать с вычислениями по первому пути, необходимо потребовать [math]\frac{ T \sigma }{ k }\frac{\partial k}{\partial T}+\frac{ 2T }{ 3V } \sigma \frac{\partial V}{\partial T}=0[/math], откуда [math]k=k_{0}V^{-2 \slash 3}[/math], где [math]k_0[/math] – константа интегрирования.

Но мольная площадь равна [math]A=kV^{2 \slash 3}[/math]. Подставляя сюда синюю формулу, окончательно получим: [math]A=k_0[/math]

Это кажется мне весьма странным: получается, что мольная поверхность жидкости не зависит от температуры !!!
Т.е. плотность упаковки молекул на поверхности меняется с температурой таким образом, чтобы обеспечить постоянство мольной поверхности?
Как вы думаете; такое может быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 02 янв 2022, 09:22 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Т.е. плотность упаковки молекул на поверхности меняется с температурой таким образом, чтобы обеспечить постоянство мольной поверхности?

Чтобы обеспечить постоянство мольной поверхности, плотность упаковки молекул на поверхности как раз-таки не должна меняться, а должна оставаться неизменной.

Я не говорю, что я утверждаю, что плотность молекул на поверхности не должна меняться с температурой. Тепловое движение всё же должно раздвигать все молекулы, в том числе и те, которые на поверхности (пусть хоть и в меньшей степени, чем в объёме). Иначе получается абсурд - представьте, что внутри объема молекулы могут раздвигаться др. от др., а на поверхности - нет. Тогда при дальнейшем нагреве, теоретически и умозрительно, все молекулы со временем окажутся на поверхности, а внутри образуется пустота, после чего тепловое расширение прекратится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 02 янв 2022, 19:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Чтобы обеспечить постоянство мольной поверхности, плотность упаковки молекул на поверхности как раз-таки не должна меняться, а должна оставаться неизменной.
Не согласен. С ростом температуры расстояние между молекулами возрастает, в том числе и на поверхности жидкости. Чтобы мольная поверхность оставалась постоянной, увеличение расстояния должно согласованно компенсироваться ростом плотности упаковки, как схематично показано на рисунке.
Изображение
На левом рисунке (холодная жидкость) каждая молекула имеет 3 ближайших соседа, на правой (горячая жидкость) - 6. Число молекул на единице площади рисунка замысливалось одинаковым.
Расстояния до ближайших соседних молекул увеличилось, площадь увеличилась, но пропорционально увеличилось и число молекул, так что число молекул на единице площади осталось неизменным.
Цитата:
Я не говорю, что я утверждаю, что плотность молекул на поверхности не должна меняться с температурой. Тепловое движение всё же должно раздвигать все молекулы, в том числе и те, которые на поверхности…
Вам не кажется, что вы сами себе противоречите?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 09:25 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Вам не кажется, что вы сами себе противоречите?

В чём я сам себе противоречу?

Вообще, мне трудно участвовать в этой теме, потому что у вас подход скорее математический - вы оперируете придуманными термодинамическими потенциалами и их дифференциальными уравнениями, а я всегда ненавидел эти искусственные потенциалы (ну, не от моего большого ума, конечно). Мне всегда больше нравился подход чисто физический типа на пальцах.

При попытке связать поверхностное натяжение с испарением, я бы не бросался в энтальпии со свободными энергиями. Я стал бы рассматривать работу, совершаемую по отрыванию одной молекулы от поверхности. Далее, надо понимать, что поверхностное натяжение - это фикция, и, как такового, его не существует.

В чём разница между молекулами внутри и молекулами на поверхности? Первые испытывают равнодействующую силу ноль, ибо они окружены со всех сторон. А вторые испытывают несбалансированную равнодействующую силу со стороны только внутренних молекул.

Можно для самой простой модели в нулевом приближении представить, что поверхностную молекулу притягивает только одна внутренняя молекула (вы это назвали силой Ван-дер-Ваальса). Для испарения нужно поработать против этой силы. Но, строже говоря, при смещении молекулы от поверхности, начинают сказываться и притяжения от соседних поверхностных молекул, которые перестают быть взаимно скомпенсированными.

А для поверхностного натяжения раскладка сил аналогична. Но там притяжение соседних поверхностных молекул начинает проявляться не тогда, когда мы начинаем отрывать молекулу с поверхности при рассмотрении испарения, а при искривлении поверхности. На плоской поверхности силы притяжения со стороны соседних поверхностных молекул компенсируются. А на искривлённой - нет. От этого потенциальная энергия возрастает. Для её снижения нужно уменьшить число поверхностных молекул и/или выпрямить поверхность (или что, по сути тоже самое, уменьшить площадь поверхности). Самая "прямая" поверхность объёмного тела - это у шара.
И дальше вспоминаем, что сила - это градиент потенциальной энергии, и так связываем работу по отрыву молекулы с поверхности с потенциальной энергией поверхностного натяжения

В общем, я как-то так пробовал бы на молекулярном уровне, а не на уровне ТД потенциалов. Но, опять же, я не говорю, что это было бы правильнее. Просто я не люблю ТД потенциалы. Я "автомеханик", а не Ландау-Лифшиц.
_______________________________________________

Exzellenz писал(а):
Чтобы мольная поверхность оставалась постоянной, увеличение расстояния должно согласованно компенсироваться ростом плотности упаковки, как схематично показано на рисунке.

Я вам уже приводил аргумент в предыдущем месседже, что если это будет так, то при продолжении теплового расширения все молекулы перейдут к поверхности и окажутся на поверхности, а внутри образуется пустота.

Кроме того, ваши рисунки с изменением симметрии структуры вещества больше соответствуют фазовому переходу. Это уже какое-то другое вещество получится. Типа как графит превратился в алмаз. И, по-моему, фазовые переходы не протекают плавно, а обычно скачком при какой-то конкретной температуре (температуре фазового перехода). Короче, то, что вы нарисовали - не физично.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Exzellenz
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 14:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
При попытке связать поверхностное натяжение с испарением, я бы не бросался в энтальпии со свободными энергиями. Я стал бы рассматривать работу, совершаемую по отрыванию одной молекулы от поверхности…
На самом деле я так и делал, но об этом как-нибудь позже, м.б. в следующем посте.
Однако, чтобы сравнивать поверхностное натяжение с теплотой испарения, эти величины должны быть сопоставимы, т.е., во-первых, относиться к одинаковому количеству вещества, во-вторых, иметь одинаковый физический смысл.
Для «во-первых» нужно знать, какую площадь на поверхности занимают [math]N_{A}[/math] молекул, а для «во-вторых» они должны принадлежать одному и тому же термодинамическому потенциалу. Нельзя сравнивать энтальпию со свободной энергией.
Ибо работа перемещения молекулы из объема жидкости в пар – это энтальпия испарения, а работа перемещения из объема жидкости на поверхность – это не поверхностное натяжение (т.е. не свободная энергия), а энтальпия на поверхности, т.е. не [math]\sigma[/math], а [math]\sigma -T\frac{\partial \sigma }{\partial T}[/math]
Цитата:
Далее, надо понимать, что поверхностное натяжение – это фикция, и, как такового, его не существует.
Это как это? Жoпa есть, а слова нет?
Цитата:
…если это будет так, то при продолжении теплового расширения все молекулы перейдут к поверхности и окажутся на поверхности, а внутри образуется пустота.
Остроумно, но вряд ли правильно:
1) Число молекул на поверхности макроскопического объема (скажем, шара) жидкости пренебрежимо мало́ по сравнению с их числом в объеме; с ростом температуры объем растет как куб радиуса, а поверхность – как квадрат, т.е. медленнее. Чтобы число молекул на единице площади оставалось постоянным, перекочевать на поверхность должна пренебрежительно малая часть молекул, при этом рост объема просто замедлится на пренебрежимо малую величину.
2) Если бы с ростом температуры рост объема можно было бы неограниченно продолжать, когда-то все молекулы оказались бы на поверхности. Только это на практике невозможно: максимально достижимая температура – это критическая точка; выше этой температуры жидкость не существует, а есть только пар.
Цитата:
…ваши рисунки с изменением симметрии структуры вещества больше соответствуют фазовому переходу.
На рисунках показаны два частных случая. Если бы переход происходил при фиксированной температуре, это был бы фазовый переход. Но если изменение среднего числа ближайших соседей происходит непрерывно, то фазового перехода нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 16:22 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы мою умозрительную и чисто теоретическую историю про переход всех молекул из объёма на поверхность (в вашей модели поведения) называете нереальной, а свою однородную и перманентную смесь молекул с тремя и шестью соседями называете реальной.
Я-то эту историю описал лишь чтобы продемонстрировать нелогичность вашей модели, что, якобы, внутри и на поверхности - как разные государства, а не потому, что это должно случится при нагреве на немного градусов.

Если молекулы в жидкости вместо трёх соседей стали ни с того ни с сего соединяться с шестью, то с ними явно что-то произошло. И если уж некоторые изменились при изменении температуры, изменятся и все, т.е. будет фазовый переход.

В жидкости всё-таки имеется ближний порядок, похожий на тот, что будет в кристалле после кристаллизации. Т.е. жидкость - это не хаотичное нагромождение, а группы, сформированные определёнными связями с определённой симметрией. Вода - немного особый случай, но даже в ней оголённые водороды липнут к жадному кислороду, вроде, не более, чем по два.

Exzellenz писал(а):
если изменение среднего числа ближайших соседей происходит непрерывно
- что значит "если"? Это не дело вкуса или случая. Оно не будет происходить непрерывно, а скачком, вызывая фазовый переход.

Exzellenz писал(а):
Это как это? Жoпa есть, а слова нет?

То, что поверхностное натяжение - это фикция - это не я придумал. Это все физики, вообще-то знают. И я это ещё в средней школе слышал. И это совершенно понятно.
Стремление поверхностных атомов "пробиться вовнутрь" приводит к такому же эффекту, как если бы они не стремились, но их окружала бы натянутая резиновая плёнка, сжимающая их всех. Поэтому так и называют. Но нет никакой плёнки и никакого "натяжения". Есть только силы взаимодействия молекул между собой в жидкости, или с молекулами стенки сосуда. Удобная аналогия, и не более того. Иголка на поверхности воды лежит и не тонет не потому, что она лежит на прочной плёнке, а потому, что молекулы воды не дают силе тяжести иголки разорвать их связи. Молекулы воды лезут под иголку чтобы соединиться с другими молекулами воды, и тем самым подымают иголку. А с атомами иголки они соединяться не хотят. Но капните мыла, и всё изменится и иголка потонет. И куда делось "поверхностное натяжение"?

Спросите Захара, он тут вам расскажет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поверхностное натяжение
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 17:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Вы мою … историю … называете нереальной, а свою однородную и перманентную смесь молекул с тремя и шестью соседями называете реальной.
Немного не так.
Мои слова были не выдуманы на пустом месте, а являются выводом из расчетов, показанных в постах №1 (21.12.21, 16:50) и №3 (28.12.21, 00:50).
Этот вывод мне и самому кажется странным, как я и сказал в посте №3.
Но опровергнуть его мне нечем.
А ваши слова я не просто так назвал нереальными, а привел аргументы.
Цитата:
Если молекулы в жидкости вместо трёх соседей стали ни с того ни с сего соединяться с шестью, то с ними явно что-то произошло. И если уж некоторые изменились при изменении температуры, изменятся и все, т.е. будет фазовый переход…
…Оно не будет происходить непрерывно, а скачком, вызывая фазовый переход.
На каком основании вы это утверждаете?
Это неверно! Вы путаете жидкость с кристаллическим твердым телом. Это в кристалле существует фиксированное число ближайших соседей, и при определенной фиксированной температуре это число может скачкообразно измениться – произойдет фазовый переход, при котором кристаллическая решетка станет другой.
В жидкости тоже существует «квазикристаллическая структура», только она имеет так называемый «ближний порядок». Это можно (несколько упрощенно) представить себе, как островки кристаллов с размытыми краями, плавающие в неупорядоченной жидкости. Вблизи точки замерзания размеры кристаллов максимальны, с ростом температуры их размеры плавно уменьшаются, полностью исчезая в критической точке. Поэтому «число ближайших соседей» у молекулы – некоторая усредненная по всем молекулам величина, которая плавно меняется с ростом температуры. И никаких фазовых переходов.
Цитата:
То, что поверхностное натяжение - это фикция – это не я придумал… и т.д. по тексту
Это вопрос терминологии, т.е. не принципиально.
Конечно, никакой резиновой пленки нет. Но поверхность жидкости ведет себя в некоторых отношениях так, как если бы она была, поэтому явление и назвали «натяжением». Можете придумать для этого другое слово. Как говорится, «назови хоть горшком, только в печь не ставь». Тем не менее, удобнее пользоваться общепринятыми терминами, ибо иначе вас будет невозможно понять без дополнительных пояснений.
Цитата:
…капните мыла, и всё изменится, и иголка потонет. И куда делось "поверхностное натяжение"?
Никуда не делось, просто уменьшилось. Дифильные молекулы, концентрируясь в поверхностном слое, снижают поверхностное натяжение, это известно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Статика. Натяжение

в форуме Школьная физика

Vitola

6

879

15 май 2017, 10:48

Определить натяжение нитей

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

2

96

29 окт 2023, 13:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved