Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 09:08 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Решаю систему
[math]\left\{\!\begin{aligned}& \operatorname{tg} xy=x^2 \\& 0,8x^2+2y^2=1\end{aligned}\right.[/math]

В задачнике Воробьёвой, из которого эту систему умыкнули, предлагается решить её методом Ньютона, а мне нужен метод простой итерации. И вот к виду, пригодному для итераций, я её привести никак и не могу. Как ни крутила, обязательно для одного из уравнений не выполняются условия сходимости.
Прошу помощи, так как идеи уже закончились.
Спасибо за внимание.
С уважением, Светлана.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 10:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1028
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
123 раз в 121 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f(x)=0\Longrightarrow x_{k+1}=x_k-\Big(\frac{\partial f(\tilde x)}{\partial x}\Big)^{-1}f(x_k),\quad k=1,2,\ldots[/math]

[math]\tilde x[/math] -- начальное приближение, [math]x,f\in\mathbb{R}^m[/math]

детали см. Канторович Функциональный анализ

а вообще, метод Ньютона -- он сам по себе метод простой итерации для отыскания неподвижной точки отображения
[math]g(x)=x-\Big(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\Big)^{-1}f(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 12:00 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 апр 2020, 10:40
Сообщений: 145
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
55 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так работает:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x = \sqrt{\operatorname{tg} xy} \\& y=\sqrt\frac{1-0,8x^2}2\end{aligned}\right.[/math]

[math](x_0, y_0) = (0.5, 0.5)[/math]

▼ Итерации
0.5053136859625279 0.6324555320336759
0.5752675082738244 0.6307640061953326
0.6161731388013677 0.6063224534600135
0.6261070962889765 0.5900273427629165
0.622251082715763 0.58582929389937
0.6177271756304126 0.5874703703367722
0.6162087663589841 0.5893770054855121
0.6164713516520709 0.5900124596183843
0.6169785154103412 0.5899027284535201
0.6171933188140999 0.5896906007465446
0.6171894126695407 0.589600680871804
0.6171357909777254 0.5896023164434235
0.6171073970081151 0.5896247672865506
0.6171047190324257 0.5896366544094316
0.6171100596343286 0.5896377755021843
0.6171136229171704 0.5896355397355608
0.6171142921117574 0.5896340480026724
0.6171138041358233 0.5896337678496388
0.617113376810354 0.5896339721369565
0.6171132600116902 0.5896341510332392
0.6171132985411196 0.5896341999300054
0.6171133476117121 0.5896341837999893
0.617113365219727 0.5896341632570034
0.6171133630905248 0.5896341558855571
0.6171133577055383 0.5896341567769297

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Bloodhound "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 15:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1028
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
123 раз в 121 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При разных начальных приближениях итерационный метод сходится к разным корням, а корней 2 как минимум.
Из первого уравнения можно выразить y, и подставить во второе, получится счетное множество скалярных уравнений соответствующих ветвям арктангенса

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 15:31 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
17 май 2015, 18:42
Сообщений: 572
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
48 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
При разных начальных приближениях итерационный метод сходится к разным корням, а корней 2 как минимум.
Из первого уравнения можно выразить y, и подставить во второе, получится счетное множество скалярных уравнений соответствующих ветвям арктангенса

Супер!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 16:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 апр 2020, 10:40
Сообщений: 145
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
55 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все это напоминает анекдот про Шерлока Холмса на воздушном шаре

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 16:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7548
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
2743 раз в 2531 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё вариант с выбором итерационной функции в рамках метода простой итерации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 16:27 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
17 май 2015, 18:42
Сообщений: 572
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
48 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Возможно, понравится. Все 4 неплохих приближения для дальнейшего уточнения:
1, 0.0361020643518753, -0.704291218565838
2, -0.588842176069890, -0.602190189188106
3, 0.00972842636750558, 0.706961778594677
4, 0.628966437434561, 0.582795632064214
Их от от одной начальной точки нашёл для Вас метод Драгилева. И картинка процесса:
там начальная точка красного цвета, два графика системы и кривая поиска.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 18:37 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
17 май 2015, 18:42
Сообщений: 572
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
48 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
one man писал(а):
Все 4 неплохих приближения для дальнейшего уточнения:
1, 0.0361020643518753, -0.704291218565838
2, -0.588842176069890, -0.602190189188106
3, 0.00972842636750558, 0.706961778594677
4, 0.628966437434561, 0.582795632064214

Если что (лучше без картинок), то этим же методом можно получать не только приближения, но и
практически решения:

1, [-7.17709945101310*10^(-8) , -0.707106802196231], норма невязки 7.81459685420407684*10^(-8)
2, [-0.617113277112137, -0.589634212378244], ------------- 9.35673963484414558*10^(-8)
3, [7.10009654754547 *10^(- 8) , 0.707106807979941],------ 9.09046556035235596*10^(-8)
4, [0.617113265724757, 0.589634227893395], ----------------1.21907774307727450*10^(-7)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод итераций для системы нелинейных уравнений
СообщениеДобавлено: 02 фев 2024, 21:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1028
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
123 раз в 121 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2 корня система имеет
эллипс пересекается только с той ветвью арктангенса, которая проходит через 0, с другими ветвями не пересекается

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод итераций для системы n-линейных уравнений

в форуме Численные методы

al-dr

0

328

28 май 2014, 22:55

Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

mixar

6

676

21 янв 2017, 04:46

Системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

maksimis1111

1

318

05 дек 2020, 15:31

Решение системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

ubuntu

2

336

16 дек 2017, 04:27

Решение системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

nadffka

11

633

09 май 2018, 09:56

Метод простой итерации при решение системы нелинейных уравне

в форуме Численные методы

corbulo

5

434

29 янв 2022, 10:54

Решение сложной системы нелинейных уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Abraziv

1

628

14 авг 2015, 12:10

Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача

в форуме Численные методы

CRiMER

4

372

03 дек 2017, 14:56

Решение системы нелинейных уравнений методом ньютона

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mathematic

1

400

15 фев 2018, 12:19

Решение системы нелинейных уравнений геометрическим методом

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

AGN

6

173

09 авг 2023, 19:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved