Метод Ньютона(касательных)

Решить пример по методу Ньютона
xlg(x+2)+x^2-1=0
Yf [0,75;0,85] c e=10^-4

Уже первая итерация даёт результат с нужной точностью

Ответим методу Ньютона методом Драгилева с точностью 10[math]^{-20}[/math]
1, -1.0000000000000000000
2, 0.80104655946822096100

Кому интересно, метод Ньютона находит только одно решение для одного начального приближения и является частным случаем метода Драгилева.

one man
А как метод Драгилева справится с таким уравнением: [math]tg(2x)-3x+0.2=0[/math], где требуется найти все корни от -10 до 10? Эта задача возникла на соседнем форуме в разделе Mathcad, где у ТС возникли проблемы при использовании всех штатных решателей в этой системе, которые не могли найти корни, которые лежали практически рядом с начальными стартовыми! Причём проблемы возникали при значительном удалении значений х от 0.

Скажу, как он должен справиться: на каждом непрерывном участке он будет двигаться по линии до всех пересечений с осью абсцисс на этом участке. Если запрограммировать, то все начальные точки можно находить от одной точки в цикле, например, с помощью вспомогательной прямой. Cначала находить пересечения с непрерывными участками, а потом опускаться до оси по самой линии.

А это попытка непосредственно от пакета Maple найти решения на интервале и чуть шире

-5.4677086687321232744681207451100812081715229572214334977825265
0.24134440838426685518656441122467427687661743129708216944436218
-10.193938478450394711759410105834591808380096929649188737102321
2.28150499929906491874352024034080664603146626933591405135494784
-2.2858158548400584337265087279406642691851917153479129200128087
-8.6202031616910310195626687396614661592101556665195052202203672
-0.5310325708950083491586543391250726838807349239858777934469569
-7.0451654851457818666812316972668592299055131546627319652807157
-3.8849132085371103878734885659311544411045286681087759784233806
0.36513684973790206243689067765860926560733962734429926691940693
5.46696374993105839824684758051241565597619359167452508299950054
3.88343436444303815226007984702220895076430370047674057450272092
7.04471719601128970851825475859513447866865613834389966515201221
11.7667313676906693039494606817677581792088280925548881210583184
8.61990385360265257206316147673293295813062431211164662077760915
16.4832104659647406985472534796969356219509077256503260125729996
13.3392141691634298542879960514376819179620804683673329959877782
10.1937245032445868670286377719800845879937904697455234268408179

А что за метод? Нельзя ли изложить его суть?

Да, работает на больших и на малых удалениях от оси ординат. Единственное, точки на интервалах вводил вручную. У меня под рукой нет соответствующей заготовки для плоских случаев, поэтому вручную вводил, по графику.


Мне на киберфоруме любезно выделили тему,
https://www.cyberforum.ru/numerical-met ... 84870.html
там очень подробно и со ссылками на публикации.
Будут вопросы - обращайтесь.

one man
Почитал по вашей ссылке, но не очень понял, как это использовать для улучшения метода Ньютона.
Попробую пересказать своими словами.
Итак, пусть нужно численно решить уравнение [math]f(x)=0[/math]. Введем параметр [math]t[/math] следующим образом:
[math]f(x)-t \cdot f(x_0)=0, \quad x=x(t).[/math] Тогда решение будет при [math]t=0[/math]. Дифференцируем по параметру [math]t[/math]:

[math]f'(x) \cdot x'(t)-f(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x'=\frac{f(x_0) }{f'(x)}[/math]

Решаем методом ломаных Эйлера:
[math]x_{n+1}=x_n+x_n' \Delta t=x_n+\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \Delta t.[/math]

При [math]\Delta t=-1[/math] (у вас почему-то [math]\Delta t=1[/math] ) имеем формулу метода Ньютона.
Ну и как это использовать, чтобы сходимость была лучше, чем у Ньютона?
Метод Драгилева где-нибудь изложен систематически? Я не нашел...

То есть, Вы не нашли ссылок в той теме на киберфоруме? А они там есть.

Вы рассказываете о другом методе, который лет 70-75 известен под названиями метод гомотопии, метод продолжения по параметру... В методе Драгилева t это дополнительная переменная, которая вместе со старыми переменными является функцией длины дуги. Мы увеличиваем размерность исходного пространства переменных на 1. Просто через этот метод показана связь метода Драгилева и метода Ньютона.

И почему Вы решили, что сходимость метода Ньютона должна быть хуже? Где было сказано об этом? Метод Драгилева хорошо локализует решения, но для их уточнения он слишком сложен. Да, если постараться, можно уточнить и с его помощью, но это очень нерационально.

На этом форуме приводил примеры систем. https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=79382
Почти все эти системы изначально недоопределённые. Показаны решения некоторых из них. (И тот умник, что убрал ссылку из Вики, ничего, что касается их решения, не сказал.) Эти системы можно решить методом Ньютона?

one man
Там ссылки на киберфорум, где речь идет о методах решения систем нелинейных уравнений (в том числе дифференциальных). А систематического изложения метода Драгилева нигде нет. Хотелось бы учебник или конспекты лекций.
Меня же пока интересует только решение алгебраического уравнения с одной переменной (чтобы начать с простейшего случая; усложнять можно будет потом, когда разберусь с принципом работы)
Назови хоть горшком, только в печь не ставь. Меня интересует метод численного решения алгебраических уравнений (которые не решаются аналитически), по отношению к которому метод Ньютона оказывается частным случаем.
Ну так у вас и было сказано (ваш пост от 16.03.23, 15:14: «Ответим методу Ньютона методом Драгилева с точностью [math]10^{-20}[/math]»)