Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 15 сен 2021, 12:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую! Возник когнитивный диссонанс от следующего факта. Очевидно, что [math]\left( A \land B \right) \to C[/math] = [math]\left( A \to C \right) \lor \left( B \to C \right)[/math]. Пусть A = "Четырехугольник является прямоугольником.", B = "Четырехугольник является ромбом", С = "Четырехугольник является квадратом.". Тогда очевидно, что утверждение, соответствующее левой части равносильности, верно: "Если четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он является квадратом.". Утверждение же, соответствующее правой части, очевидно, ложно: "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом или же если четырехугольник является ромбом, то он является квадратом". Как объяснить эту нестыковку? Как вообще тогда можно доверять выкладкам алгебры логики, если равносильные преобразования от истинного утверждения приводят к ложному?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 15 сен 2021, 13:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2749 раз в 2537 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dave Bowman писал(а):
Очевидно, что [math]\left( A \land B \right) \to C[/math] = [math]\left( A \to C \right) \lor \left( B \to C \right)[/math]

Вообще непонятно, как у Вас это "очевидное равносильное" преобразование привело к правой части?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 15 сен 2021, 13:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Dave Bowman писал(а):
Очевидно, что [math]\left( A \land B \right) \to C[/math] = [math]\left( A \to C \right) \lor \left( B \to C \right)[/math]

Вообще непонятно, как у Вас это "очевидное равносильное" преобразование привело к правой части?

[math]\left( A \land B \right) \to C = \lnot \left( A \land B \right) \lor C = \lnot A \lor \lnot B \lor C = \left( \lnot A \lor C \right) \lor \left( \lnot B \lor C \right) = \left( A \to C \right) \lor \left( B \to C \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 15 сен 2021, 16:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хороший вопрос.

Dave Bowman писал(а):
Утверждение же, соответствующее правой части, очевидно, ложно: "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом или же если четырехугольник является ромбом, то он является квадратом".
Если это утверждение очевидно ложно, приведите контрпример. Здесь важно, что в обеих частях дизъюнкции рассматривается один и тот же четырехугольник. То есть утверждение есть [math]\forall x\,((\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x)))[/math], а не [math]\forall x\,(\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor\forall x\,(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x))[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 11:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dave Bowman писал(а):
Четырехугольник


Какой четырёхугольник?
Вы уверены, что высказывание "Четырехугольник является прямоугольником" можно корректно формализовать в пропозицональной логике?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 11:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]C(x), P(x), R(x), K(x)[/math] - символы предикатов, определённых на множестве [math]\mathcal{F}[/math] геометрических фигур на плоскости, которые обозначают "[math]x[/math] - четырёхугольник", [math]x[/math] - прямоугольник", "[math]x[/math] - ромб", "[math]x[/math] - квадрат соответственно. И пусть [math]a \in \mathcal{F}[/math] - произвольная геометрическая фигура. Тогда получим:

[math]((C(a) \wedge P(a)) \wedge (C(a) \wedge R(a))) \to (C(a) \wedge K(a)) \simeq (C(a) \wedge P(a) \wedge R(a)) \to K(a)[/math].


Высказывания справа и слева истинны. Учитывая неопределённость формулировки, можно формализовать и иначе:

[math](\exists x (C(x) \wedge P(x)) \wedge \exists x (C(x) \wedge R(x))) \to (\exists x (C(x) \wedge K(x))) \simeq[/math].


[math]\simeq (\exists x (C(x) \wedge P(x)) \to \exists x (C(x) \wedge K(x))) \vee (\exists x (C(x) \wedge R(x)) \to \exists x (C(x) \wedge K(x)))[/math].


И здесь высказывания справа и слева истинны.

Если использовать для формализации общеутвердительные высказывания, то, по-моему (нужно проверить), получим истинные высказывания, так как предикаты [math]C(x) \to P(x), C(x) \to R(x), C(x) \to K(x)[/math] опровержимы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 17:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Хороший вопрос.

Dave Bowman писал(а):
Утверждение же, соответствующее правой части, очевидно, ложно: "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом или же если четырехугольник является ромбом, то он является квадратом".
Если это утверждение очевидно ложно, приведите контрпример. Здесь важно, что в обеих частях дизъюнкции рассматривается один и тот же четырехугольник. То есть утверждение есть [math]\forall x\,((\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x)))[/math], а не [math]\forall x\,(\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor\forall x\,(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x))[/math].

Спасибо за ответ! Я понял, что утверждению [math]\forall x\,(\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor\forall x\,(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x))[/math] соответствует именно формулировка "Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом или же если четырехугольник является ромбом, то он является квадратом". Но никак не получается словесно выразить утверждение [math]\forall x\,((\text{Rectangle}(x)\to\text{Square}(x))\lor(\text{Rhombus}(x)\to\text{Square}(x)))[/math]. Как изменится формулировка утверждения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 17:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Например: для каждого четырехугольника x имеет место следующее: если x — прямоугольник, то x — квадрат, или если если x — ромб, то x — квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 17:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Например: для каждого четырехугольника x имеет место следующее: если x — прямоугольник, то x — квадрат, или если если x — ромб, то x — квадрат.

То есть единственное, что можно было бы привести в качестве контрпримера - это четырехугольник, который был бы одновременно и прямоугольником и ромбом, но не был бы квадратом (чтобы оба члена дизъюнкции обращались в 0). Но четырехугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом, есть квадрат. То есть контрпример привести нельзя и утверждение формально истинно, так? Просто оно совершенно не увязывается со здравым смыслом.


Последний раз редактировалось Dave Bowman 16 сен 2021, 18:16, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логическая равносильность приводит к неверному выводу
СообщениеДобавлено: 16 сен 2021, 18:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как автор пришел к такому выводу?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Atmf

5

243

20 апр 2022, 20:09

Вопрос по выводу формул элипса и гиперболы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

pioner14

10

250

16 июн 2021, 19:48

Равносильность

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

manchester_alan

3

282

30 мар 2016, 17:48

Равносильность неравенств

в форуме Алгебра

feechka-vinks

6

453

29 авг 2016, 13:41

Равносильность уравнений

в форуме Тригонометрия

Nas_tya+-

6

653

23 янв 2015, 19:10

Равносильность уравнений

в форуме Алгебра

Gagarin

1

370

02 май 2015, 09:04

Равносильность и следствие

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

5

1090

24 сен 2015, 00:25

Доказать равносильность

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Bunny987

1

281

25 дек 2015, 15:43

Равносильность неравенства

в форуме Алгебра

pritychka

4

406

23 сен 2016, 16:22

Равносильность логических формул

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vechnystudent

2

300

28 мар 2016, 09:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved