Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 12 авг 2021, 18:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объясните, пожалуйста, принципиальную разницу между равенством и равносильностью двух формул алгебры логики. То есть буквально, в чем разница между символами = и ≡. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 12 авг 2021, 19:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Каким учебником вы пользуетесь, и что он говорит по этому поводу? Символ ≡ имеет разные определения в разных источниках.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 12 авг 2021, 23:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=58&t=74495
Как обычно.
Слишком интимный вопрос, может ТC спит с этим учебником под подушкой, а тут его невежливо спрашивают с кем он спит))) даже под пытками не скажет!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 13 авг 2021, 10:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Каким учебником вы пользуетесь, и что он говорит по этому поводу? Символ ≡ имеет разные определения в разных источниках.

Извиняюсь, что не обозначил учебник, я новичок и самоучка))) Я пользуюсь учебником Игошин В.И. - Математическая логика (2016). Там вообще символ равносильности обозначен не ≡ (этот знак используется в других источниках, например, здесь https://3dstroyproekt.ru/algebra-logici ... 0%BD%D1%8B.), а ≅. В учебнике дано такое определение равносильности. Формулы F(X1, X2, ..., Xn) и G(X1, X2, ..., Xn) называются равносильными (эквивалентными), если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения получающихся из формул F и G высказываний совпадают. Для указания равносильности формул используют обозначение F≅G.
Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 13 авг 2021, 15:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dave Bowman писал(а):
Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =.
Еще хорошо бы понять, как Игошин определяет простое равенство и делает ли он это. Например, в книге Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2003. С. 22 запись A = B по определению означает, что формулы A и B эквивалентны в смысле Игошина, то есть A ≅ B. Но я не нашел мест, где Игошин использует обычный знак = для сравнения формул. На с. 26 приводится знак ≡, который "обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей", также называемую синтаксическим равенством. Так, [math]x\lor (x\land y)\not\equiv x[/math], но [math]x\lor (x\land y)\cong x[/math].

Обычно (но не всегда) под равенством понимают совпадение, поэтому если уж говорить про равенство формул, то, скорее всего, имеется в виду синтаксическое равенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 13 авг 2021, 15:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2021, 18:19
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Dave Bowman писал(а):
Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =.
Еще хорошо бы понять, как Игошин определяет простое равенство и делает ли он это. Например, в книге Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2003. С. 22 запись A = B по определению означает, что формулы A и B эквивалентны в смысле Игошина, то есть A ≅ B. Но я не нашел мест, где Игошин использует обычный знак = для сравнения формул. На с. 26 приводится знак ≡, который "обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей", также называемую синтаксическим равенством. Так, [math]x\lor (x\land y)\not\equiv x[/math], но [math]x\lor (x\land y)\cong x[/math].

Обычно (но не всегда) под равенством понимают совпадение, поэтому если уж говорить про равенство формул, то, скорее всего, имеется в виду синтаксическое равенство.


Да, странно, что Игошин не использует более привычный знак для обозначения того факта, что логические значения двух формул совпадают на всех возможных значениях входящих в них переменных. В принципе, когда мы пишем, что [math]{\left( a + b \right)}^2=a^2 + 2ab + b^2[/math] мы имеем ввиду равенство значений правой и левой частей для всех [math]a, b\in \mathbb{R}[/math] .В общем, я понял смысл. Вам большое спасибо за ответ! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 13 авг 2021, 23:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Использование = для обозначения эквивалентных (равносильных) формул не обязательно является оптимальным решение в математической логике. Дело в том, что логика — это, возможно, единственный раздел математики, который изучает как синтаксис, так и семантику. Все остальные области математики изучают только семантику. Так, в арифметике формула не рассматривается как последовательность символов, а как алгоритм вычисления функции (например: сначала нужно сложить [math]x[/math] и [math]y[/math], затем возвести результат в квадрат и т.д.). Причем этот алгоритм сформулирован на том же языке, на котором ведется все остальное рассуждение, то есть на котором формулируются определения и теоремы, составляются доказательства и т.д. Язык алгоритмов не является самостоятельным объектом изучения (объектным языком). В арифметике равенство [math](x+y)^2=x^2+2xy+y^2[/math] означает равенство функций, задаваемых двумя алгоритмами; при этом способ описания этих алгоритмов (заданы они обычной формулой или формулой в обратной польской записи) совершенно не важен.

В математической логике сам язык формул является объектом изучения (объектным языком), в отличие от естественного метаязыка, на котором ведется рассуждение. Существует множество результатов, относящихся только к синтаксису или связывающих синтаксис и семантику. Например, если [math]x[/math] и [math]y[/math] — различные переменные, а [math]s[/math] и [math]t[/math] — два выражения, то результат замены в формуле [math]x[/math] на [math]t[/math], за которым идет замена [math]y[/math] на [math]s[/math], будет таким же, как если сначала заменить [math]y[/math] на [math]s[/math], а затем заменить [math]x[/math] на результат замены [math]y[/math] на [math]s[/math] в [math]t[/math]. Другой пример (Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. 4-е изд. М.: МЦНМО, 2012. С. 87): если формула построена из предикатов (отношений), которые устойчивы относительно некоторого отображения (это синтаксическое свойство, то есть свойство формулы как последовательности символов), то значение этой формулы также будет устойчивым относительно этого отображения. Например, = и < устойчивы относительно отображения [math]x\mapsto x+1[/math], так как [math]x<y\iff x+1<y+1[/math], поэтому любая формула [math]A(x)[/math], построенная из = и <, будет также устойчивой относительно [math]x\mapsto x+1[/math], то есть [math]A(x)\iff A(x+1)[/math]. В частности, из = и < нельзя построить формулу [math]A(x)[/math], говорящую, что [math]x=0[/math].

Таким образом, в логике важны как синтаксические, так и семантические свойства формул. Совпадение является синтаксическим свойством, а эквивалентность — семантическим. Часто нужны обозначения и для того, и для другого.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Dave Bowman
 Заголовок сообщения: Re: Разница между равенством и равносильностью двух формул
СообщениеДобавлено: 30 авг 2021, 23:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Равенство можно определить в логике предикатов второго порядка (вполне содержательно, семантически). Пусть [math]x,y[/math] - произвольные предметные переменные. Будем говорить, что [math]x=y[/math] тогда и только тогда, когда [math]\forall P(P(x) \leftrightarrow P(y))[/math] (для любого свойства предмет [math]x[/math] обладает этим свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает предмет [math]y[/math]). Равенство - это предикат. Становится высказыванием после замены обеих предметных переменных предметными постоянными. Также можно построить отрицание этого определения и доказать свойства равенства (но для этого придётся построить некоторый фрагмент второпорядковой логики). Логическую равносильность формул алгебры логики тоже можно определить в логике предикатов второго порядка. Пусть [math]F,G[/math] - некоторые (известные) формулы алгебры логики, которые зависят от пропозициональных переменных [math]P_1, \ldots , P_n[/math]. Будем говорить, что [math]F \simeq G[/math] тогда и только тогда, когда истинно высказывание [math]\forall P_1 \ldots \forall P_n (F(P_1, \ldots, P_n) \leftrightarrow G(P_1, \ldots , P_n))[/math]. Например, высказывание [math]\forall P \forall Q ((P \to Q ) \leftrightarrow (\neg P \vee Q))[/math] истинно. Поэтому соответствующие формулы логически равносильны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разница между ∇(UA) и ∇∙(U∙A)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Himik1601

2

409

20 май 2017, 23:19

В чём разница между отношением и соответствием?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

LittleMan

2

931

28 мар 2015, 21:35

В чем разница между этими задачами

в форуме Алгебра

pweveb

4

204

15 июл 2019, 13:54

Разница между конъюнкцией и пересечением

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

theonewhoknocks

4

366

07 июл 2018, 12:18

Разница между счётным и несчётным объединением

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Shadow228

9

229

16 апр 2022, 16:55

Разница между главным и угловым минором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ifseveaoltaland

1

168

02 окт 2021, 19:41

В чём разница между базисными векторами и ортами?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

roboq6

2

322

02 янв 2017, 18:48

Как узнать насколько большая или маленькая разница между чи

в форуме Размышления по поводу и без

armix

8

718

10 мар 2015, 11:15

Есть ли разница какой ставить знак между матрицей в процессе

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

gail-ul

4

563

16 ноя 2016, 19:41

Разница между "исправленным" и генеральным СКО

в форуме Теория вероятностей

BloodRedRose

1

317

17 май 2017, 15:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved