Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Dave Bowman |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Каким учебником вы пользуетесь, и что он говорит по этому поводу? Символ ≡ имеет разные определения в разных источниках.
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=58&t=74495
Как обычно. Слишком интимный вопрос, может ТC спит с этим учебником под подушкой, а тут его невежливо спрашивают с кем он спит))) даже под пытками не скажет! |
||
Вернуться к началу | ||
Dave Bowman |
|
|
3D Homer писал(а): Каким учебником вы пользуетесь, и что он говорит по этому поводу? Символ ≡ имеет разные определения в разных источниках. Извиняюсь, что не обозначил учебник, я новичок и самоучка))) Я пользуюсь учебником Игошин В.И. - Математическая логика (2016). Там вообще символ равносильности обозначен не ≡ (этот знак используется в других источниках, например, здесь https://3dstroyproekt.ru/algebra-logici ... 0%BD%D1%8B.), а ≅. В учебнике дано такое определение равносильности. Формулы F(X1, X2, ..., Xn) и G(X1, X2, ..., Xn) называются равносильными (эквивалентными), если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения получающихся из формул F и G высказываний совпадают. Для указания равносильности формул используют обозначение F≅G. Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Dave Bowman писал(а): Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =. Еще хорошо бы понять, как Игошин определяет простое равенство и делает ли он это. Например, в книге Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2003. С. 22 запись A = B по определению означает, что формулы A и B эквивалентны в смысле Игошина, то есть A ≅ B. Но я не нашел мест, где Игошин использует обычный знак = для сравнения формул. На с. 26 приводится знак ≡, который "обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей", также называемую синтаксическим равенством. Так, [math]x\lor (x\land y)\not\equiv x[/math], но [math]x\lor (x\land y)\cong x[/math].Обычно (но не всегда) под равенством понимают совпадение, поэтому если уж говорить про равенство формул, то, скорее всего, имеется в виду синтаксическое равенство. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: Dave Bowman |
||
Dave Bowman |
|
|
3D Homer писал(а): Dave Bowman писал(а): Само определение понятно, но не понятно, чем равносильность отличается от простого равенства =. Еще хорошо бы понять, как Игошин определяет простое равенство и делает ли он это. Например, в книге Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2003. С. 22 запись A = B по определению означает, что формулы A и B эквивалентны в смысле Игошина, то есть A ≅ B. Но я не нашел мест, где Игошин использует обычный знак = для сравнения формул. На с. 26 приводится знак ≡, который "обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей", также называемую синтаксическим равенством. Так, [math]x\lor (x\land y)\not\equiv x[/math], но [math]x\lor (x\land y)\cong x[/math].Обычно (но не всегда) под равенством понимают совпадение, поэтому если уж говорить про равенство формул, то, скорее всего, имеется в виду синтаксическое равенство. Да, странно, что Игошин не использует более привычный знак для обозначения того факта, что логические значения двух формул совпадают на всех возможных значениях входящих в них переменных. В принципе, когда мы пишем, что [math]{\left( a + b \right)}^2=a^2 + 2ab + b^2[/math] мы имеем ввиду равенство значений правой и левой частей для всех [math]a, b\in \mathbb{R}[/math] .В общем, я понял смысл. Вам большое спасибо за ответ! |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Использование = для обозначения эквивалентных (равносильных) формул не обязательно является оптимальным решение в математической логике. Дело в том, что логика — это, возможно, единственный раздел математики, который изучает как синтаксис, так и семантику. Все остальные области математики изучают только семантику. Так, в арифметике формула не рассматривается как последовательность символов, а как алгоритм вычисления функции (например: сначала нужно сложить [math]x[/math] и [math]y[/math], затем возвести результат в квадрат и т.д.). Причем этот алгоритм сформулирован на том же языке, на котором ведется все остальное рассуждение, то есть на котором формулируются определения и теоремы, составляются доказательства и т.д. Язык алгоритмов не является самостоятельным объектом изучения (объектным языком). В арифметике равенство [math](x+y)^2=x^2+2xy+y^2[/math] означает равенство функций, задаваемых двумя алгоритмами; при этом способ описания этих алгоритмов (заданы они обычной формулой или формулой в обратной польской записи) совершенно не важен.
В математической логике сам язык формул является объектом изучения (объектным языком), в отличие от естественного метаязыка, на котором ведется рассуждение. Существует множество результатов, относящихся только к синтаксису или связывающих синтаксис и семантику. Например, если [math]x[/math] и [math]y[/math] — различные переменные, а [math]s[/math] и [math]t[/math] — два выражения, то результат замены в формуле [math]x[/math] на [math]t[/math], за которым идет замена [math]y[/math] на [math]s[/math], будет таким же, как если сначала заменить [math]y[/math] на [math]s[/math], а затем заменить [math]x[/math] на результат замены [math]y[/math] на [math]s[/math] в [math]t[/math]. Другой пример (Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. 4-е изд. М.: МЦНМО, 2012. С. 87): если формула построена из предикатов (отношений), которые устойчивы относительно некоторого отображения (это синтаксическое свойство, то есть свойство формулы как последовательности символов), то значение этой формулы также будет устойчивым относительно этого отображения. Например, = и < устойчивы относительно отображения [math]x\mapsto x+1[/math], так как [math]x<y\iff x+1<y+1[/math], поэтому любая формула [math]A(x)[/math], построенная из = и <, будет также устойчивой относительно [math]x\mapsto x+1[/math], то есть [math]A(x)\iff A(x+1)[/math]. В частности, из = и < нельзя построить формулу [math]A(x)[/math], говорящую, что [math]x=0[/math]. Таким образом, в логике важны как синтаксические, так и семантические свойства формул. Совпадение является синтаксическим свойством, а эквивалентность — семантическим. Часто нужны обозначения и для того, и для другого. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: Dave Bowman |
||
Ellipsoid |
|
|
Равенство можно определить в логике предикатов второго порядка (вполне содержательно, семантически). Пусть [math]x,y[/math] - произвольные предметные переменные. Будем говорить, что [math]x=y[/math] тогда и только тогда, когда [math]\forall P(P(x) \leftrightarrow P(y))[/math] (для любого свойства предмет [math]x[/math] обладает этим свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает предмет [math]y[/math]). Равенство - это предикат. Становится высказыванием после замены обеих предметных переменных предметными постоянными. Также можно построить отрицание этого определения и доказать свойства равенства (но для этого придётся построить некоторый фрагмент второпорядковой логики). Логическую равносильность формул алгебры логики тоже можно определить в логике предикатов второго порядка. Пусть [math]F,G[/math] - некоторые (известные) формулы алгебры логики, которые зависят от пропозициональных переменных [math]P_1, \ldots , P_n[/math]. Будем говорить, что [math]F \simeq G[/math] тогда и только тогда, когда истинно высказывание [math]\forall P_1 \ldots \forall P_n (F(P_1, \ldots, P_n) \leftrightarrow G(P_1, \ldots , P_n))[/math]. Например, высказывание [math]\forall P \forall Q ((P \to Q ) \leftrightarrow (\neg P \vee Q))[/math] истинно. Поэтому соответствующие формулы логически равносильны.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разница между ∇(UA) и ∇∙(U∙A)
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
2 |
409 |
20 май 2017, 23:19 |
|
В чём разница между отношением и соответствием? | 2 |
931 |
28 мар 2015, 21:35 |
|
В чем разница между этими задачами
в форуме Алгебра |
4 |
204 |
15 июл 2019, 13:54 |
|
Разница между конъюнкцией и пересечением | 4 |
366 |
07 июл 2018, 12:18 |
|
Разница между счётным и несчётным объединением | 9 |
229 |
16 апр 2022, 16:55 |
|
Разница между главным и угловым минором
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
168 |
02 окт 2021, 19:41 |
|
В чём разница между базисными векторами и ортами? | 2 |
322 |
02 янв 2017, 18:48 |
|
Как узнать насколько большая или маленькая разница между чи
в форуме Размышления по поводу и без |
8 |
718 |
10 мар 2015, 11:15 |
|
Есть ли разница какой ставить знак между матрицей в процессе
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
563 |
16 ноя 2016, 19:41 |
|
Разница между "исправленным" и генеральным СКО
в форуме Теория вероятностей |
1 |
317 |
17 май 2017, 15:18 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |