Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 15 окт 2015, 21:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как решить данный пример? Помогите, пожалуйста. Перечитал кучу теории по автоморфизму и по теории групп, но не могу понять как вообще вычислять это, объясните, пожалуйста, или может на более простых примерах получится объяснить, мне лишь бы ПОНЯТЬ, понять именно и осознать, как подобные примеры решаются

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 16 окт 2015, 10:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4111
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1821 раз в 1514 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сам я не спец в теории групп, поэтому, возможно, буду "размазывать" некоторые вещи.

В группе [math]\mathbb{Z}_5[/math] элемент [math][1]_5[/math] является порождающим элементом, то есть все остальные элементы имеют вид [math]n[1]_5=[n]_5,\ n=1,2,3,4,5[/math]. Пусть [math]\varphi[/math] - произвольный автоморфизм группы [math]\mathbb{Z}_5[/math]. Тогда

[math]\varphi(n[1]_5)=n\varphi([1]_5)[/math]

Поскольку [math]\varphi[/math] - изоморфизм, то среди элементов [math]n\varphi([1]_5)[/math] должны содержаться все элементы группы [math]\mathbb{Z}_5[/math], то есть [math]\varphi([1]_5)[/math] является порождающим элементом [math]\mathbb{Z}_5[/math]. С другой стороны, очевидно, два разных автоморфизма не могут переводить один и тот же порождающий элемент в один и тот же (то есть, если [math]\varphi_1,\ \varphi_2[/math] - автоморфизмы, [math]a,b[/math] - порождающие элементы [math]\mathbb{Z}_5[/math] и [math]\varphi_1(a)=b,\ \varphi_2(a)=b[/math], то [math]\varphi_1=\varphi_2[/math]). Значит между автоморфизмами [math]\mathbb{Z}_5[/math] и порождающими элементами [math]\mathbb{Z}_5[/math] есть взаимно однозначное соответствие. Поскольку всего порождающих элементов в группе [math]\mathbb{Z}_5[/math] 4 (это [math][n]_5,\ n=1,2,3,4[/math]), то и множество [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math] состоит из 4-ех автоморфизмов. Обозначим [math]\varphi_i,\ i=1,2,3,4[/math] автоморфизм, переводящий [math][1]_5[/math] в [math][i]_5[/math]. Заметим тогда, что

[math]\varphi_2^2([1]_5)=\varphi_2\varphi_2([1]_5)=\varphi_2([2]_5)=2\varphi_2([1]_5)=2[2]_5=[4]_5[/math]

то есть [math]\varphi_2^2=\varphi_4[/math]. Аналогично легко получить, что

[math]\varphi_2^3=\varphi_3,\ \varphi_2^4=\varphi_1[/math]

то есть [math]\varphi_2[/math] является порождающим элементом в группе [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math], а значит эта группа изоморфна [math]\mathbb{Z}_4[/math], то есть [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5=\mathbb{Z}_4[/math].

Теперь самостоятельно покажите, что [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_4=\mathbb{Z}_2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
LonelyGamer
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 20 окт 2015, 09:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Извините за глупые вопросы, я просто правда не могу понять
То есть поиск количества автоморфизмов группы сводится к поиску количества порождающих элементов?
Это значит что автоморфизм это всего лишь правило по которому устанавливается взаимнооднозначное соответсвие? Если у нас AutZ5=Z4 то это означает что у нас есть 4 группы с операцией какой-то и определённым (единственным?) порождающим элементом?

Если это так, то в группе Z4 3 порождающих элемента? Пусть у нас определена операция сложения. Тогда в группе Z4 2 порождающих элемента: 1,3 . С 1 всё понятно, вот с 2: 2+2=0, то есть 2 не является порождающим, для 3: 3+3=2, 2+3=1, - получили 1, значит 3 - порождающий -> AutZ4=Z2? Так получается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 00:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6722
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
1565 раз в 1425 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не настолько терпелив как Human и педагогического таланта нет настолько доходчиво все разъяснить, просто откликнусь на просьбу ответить на вопросы.
LonelyGamer писал(а):
То есть поиск количества автоморфизмов группы сводится к поиску количества порождающих элементов?

Это верно.
Human писал(а):
Значит между автоморфизмами [math]\mathbb{Z}_5[/math] и порождающими элементами [math]\mathbb{Z}_5[/math] есть взаимно однозначное соответствие.

Но количество - это еще не группа, нужно что-то больше. Что - Human очень подробно описывает дальше. Потрудитесь понять.
LonelyGamer писал(а):
Это значит что автоморфизм это всего лишь правило по которому устанавливается взаимнооднозначное соответсвие? Если у нас AutZ5=Z4 то это означает что у нас есть 4 группы с операцией какой-то и определённым (единственным?) порождающим элементом?

Это вообще полная чушь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
LonelyGamer
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 15:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
вот он показал, что [math]\varphi_2[/math] является порождающим элементом, а дальше написал, что: а значит эта группа изоморфна [math]\mathbb{Z}_4[/math], то есть [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5=\mathbb{Z}_4[/math].
Но я не понимаю, почему так? У нас же и все остальные элементы являются порождающими, и [math]\varphi_3[/math] и [math]\varphi_4[/math], но почему из того что [math]\varphi_2[/math] является порождающим в группе [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math] следует что группа [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math] изоморфна [math]\mathbb{Z}_4[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 16:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6722
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
1565 раз в 1425 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что все циклические группы из 4 элементов изоморфны. То есть сначала определили количество элементов в [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math], а потом доказали ее цикличность. В данном случае этого достаточно. Кажется, что все просто, но как правило это не так, зачастую найти группу автоморфизмов представляется неподъемным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 17:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
То есть чтобы найти дальше найти AutZ4, я нахожу порождающие элементы, это 1 и 3, группа циклическая, так как 3+3=2, 2+3=1, то есть из элемента 3 мы получили единичный элемент, из которого дальше можно получить все остальные => группа циклическая, так как порождающих элементов 2 то она изоморфна Z2?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 17:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6722
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
1565 раз в 1425 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет. неверно. Хотя проще гораздо. Потому что есть всего одна группа из двух элементов. И все группы из двух элементов изоморфны.
Но, как мне кажется, ваша главная проблема заключается в неверном понимании фразы
Human писал(а):
Значит между автоморфизмами [math]\mathbb{Z}_5[/math] и порождающими элементами [math]\mathbb{Z}_5[/math] есть взаимно однозначное соответствие.

Эта фраза означает лишь, что количество автоморфизмов в циклической группе равно количеству образующих. Ничего больше! Никакой информации о структуре группы автоморфизмов у нас нет. Если некоей образующей соответствует некий автоморфизм - это вовсе не означает, что он будет образующим в группе автоморфизмов. Лишь в данном случае у нас случайно получилось, что [math]\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_5[/math] циклична и доказательство этого вы, походу, пропускаете. А это самое важное.
Структуру группы автоморфизмов в других случаях надо исследовать дальше. Искать порядки элементов и прочее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 18:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
А как вы определили что все группы Z2 изоморфны?Z4? То есть любая группа автоморфизмов, если она циклическая, изоморфна такой группе Zn, где n - количество автоморфизмов?
Элементами группы автоморфизмов являются сами автоморфизмы, а изоморфизм между группой автоморфизмов и циклической группой Zn означает, что каждому автоморфизму ставится в соответствие образующий?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить группу Aut AutZ5
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 18:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 14:32
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
Вы вот упоминали про поиск порядка элементов. Групп порядка 8 существует 3: Z8, Z4*Z2 и Z2*Z2*Z2. Для группы Z15 я искал порядки образующих, и все они равны либо 4, либо 2, именно поэтому Z15 изоморфна Z4*Z2? То есть порядок группы характеризует максимальный порядок её элементов и порядок элементов характеризует максимальный порядок группы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить фундаментальную группу объединения

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Borow

1

207

10 янв 2018, 23:43

образует ли группу?

в форуме Теория чисел

gentille

3

385

08 янв 2012, 16:27

Выяснить, образует ли множество группу?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SashaKvint

3

220

15 янв 2018, 11:28

Образует ли группу множество чисел

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

KunRAG

18

1089

25 ноя 2013, 13:04

Образуют ли эти функции группу (по композиции)

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Torus

2

48

12 сен 2021, 19:24

Задача на полную группу событий.

в форуме Теория вероятностей

mamika

5

441

25 дек 2011, 20:07

Придумать группу из 12 элементов не изоморфную цикличной

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Let4ikAcc

3

305

26 май 2013, 12:16

Подсчёт способов разделить группу людей

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

neurocore

2

201

14 дек 2018, 14:58

Доказать, что события А, АВ и А+В не образуют полную группу

в форуме Теория вероятностей

mamika

1

470

25 дек 2011, 20:33

Вероятность, что все девушки попадут в одну группу

в форуме Теория вероятностей

Anton1268274

3

101

26 дек 2020, 16:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved