Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда
СообщениеДобавлено: 13 май 2021, 13:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 окт 2020, 11:10
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Задание такое:
Воспользовавшись разложением функции [math]f(x) = \left| x \right|, (-1, 1)[/math] в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму числового ряда [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }\frac{ 2 }{ (2n + 1)^{2} }[/math]
В ряд Фурье я функцию разложил следующим образом:
1) Представил [math]\left| x \right|[/math] как кусочно заданную функцию [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned}
& -x, -1 < x < 0 \\
& x, 0 \leqslant x < 1
\end{aligned}\right.[/math]


Затем нашел
[math]a_{0} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)dx = \int\limits_{-1}^{0}-xdx + \int\limits_{0}^{1}xdx = \left.{ -\frac{ x^{2} }{ 2 } }\right|_{ -1 }^{ 0 } + \left.{ \frac{ x^{2} }{ 2 } }\right|_{ -1 }^{ 0 } = 1[/math]

Затем нашел
[math]a_{n} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)\cos{\pi nx}dx = -\int\limits_{-1}^{0}x\cos{\pi nx}dx + \int\limits_{0}^{1}x\cos{\pi nx}dx = (\left.{ -\frac{ x }{ \pi n }\sin{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\cos{\pi nx }) }\right|_{ -1 }^{ 0 } + (\left.{ \frac{ x }{ \pi n }\sin{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\cos{\pi nx }) }\right|_{ 0 }^{ 1 } =[/math]

[math]-\frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} } + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} }\cos{(- \pi n)} + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} }\cos{ \pi n} -\frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} = \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } \cos{ \pi n} - \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } } = \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } ((-1)^{n} - 1 )[/math]

Ну и наконец я нашел
[math]b_{n} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)sin{\pi nx}dx = -\int\limits_{-1}^{0}x\sin{\pi nx}dx + \int\limits_{0}^{1}x\sin{\pi nx}dx = (\left.{ \frac{ x }{ \pi n }\cos{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\sin{\pi nx }) }\right|_{ -1 }^{ 0 } + (\left.{ -\frac{ x }{ \pi n }\cos{\pi nx} + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\sin{\pi nx }) }\right|_{ 0 }^{ 1 } =[/math]

[math]= \frac{ 1 }{ \pi n }\cos{(-\pi n)} - \frac{ 1 }{ \pi n }\cos{(-\pi n)} = 0[/math]

Ряд Фурье выглядит так:
[math]\frac{ 1 }{ 2 } + \sum\limits_{n=1}^{ \infty}(a_{n}\cos{\pi nx} ) = \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 2 }{ \pi ^{2} } \sum\limits_{n=1}^{ \infty}(\frac{ \cos{\pi nx} }{ n^{2} }((-1)^{n} -1 ) )[/math]

А вот теперь главный вопрос: для чего я его находил и как он связан с числовым рядом [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }\frac{ 2 }{ (2n + 1)^{2} }[/math], сумму которого я должен с помощью него найти? Подскажите пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда
СообщениеДобавлено: 13 май 2021, 14:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Atemyn писал(а):
А вот теперь главный вопрос

Еще немного упростите полученный ряд. При четных n члены ряда нулевые. Потом подберите такое х, чтобы получился искомый ряд, или искомый ряд умноженный на некоторое число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Atemyn
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму числового ряда

в форуме Ряды

ELIZA_IVANOVA

2

490

10 авг 2016, 18:49

Найти приближенную сумму знакочередующегося числового ряда

в форуме Ряды

Kerrify

1

428

17 дек 2020, 04:44

Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Koleso

0

755

11 май 2017, 19:16

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ka9aje

1

638

01 апр 2020, 15:44

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды

chillnory

1

374

16 апр 2020, 17:17

Нйти сумму числового ряда

в форуме Ряды

351w

2

205

19 янв 2020, 19:38

Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

7

1055

30 апр 2020, 17:36

Разложить функцию в ряд фурье и найти сумму ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MathSamurai

2

532

20 май 2020, 02:48

Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

15

832

01 май 2020, 05:45

Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

RaulGonzal19

2

766

29 янв 2015, 19:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved