Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Atemyn |
|
|
Задание такое: Воспользовавшись разложением функции [math]f(x) = \left| x \right|, (-1, 1)[/math] в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму числового ряда [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }\frac{ 2 }{ (2n + 1)^{2} }[/math] В ряд Фурье я функцию разложил следующим образом: 1) Представил [math]\left| x \right|[/math] как кусочно заданную функцию [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned} & -x, -1 < x < 0 \\ & x, 0 \leqslant x < 1 \end{aligned}\right.[/math] Затем нашел [math]a_{0} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)dx = \int\limits_{-1}^{0}-xdx + \int\limits_{0}^{1}xdx = \left.{ -\frac{ x^{2} }{ 2 } }\right|_{ -1 }^{ 0 } + \left.{ \frac{ x^{2} }{ 2 } }\right|_{ -1 }^{ 0 } = 1[/math] Затем нашел [math]a_{n} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)\cos{\pi nx}dx = -\int\limits_{-1}^{0}x\cos{\pi nx}dx + \int\limits_{0}^{1}x\cos{\pi nx}dx = (\left.{ -\frac{ x }{ \pi n }\sin{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\cos{\pi nx }) }\right|_{ -1 }^{ 0 } + (\left.{ \frac{ x }{ \pi n }\sin{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\cos{\pi nx }) }\right|_{ 0 }^{ 1 } =[/math] [math]-\frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} } + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} }\cos{(- \pi n)} + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} }\cos{ \pi n} -\frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2} = \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } \cos{ \pi n} - \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } } = \frac{ 2 }{ \pi^{2} n^{2} } ((-1)^{n} - 1 )[/math] Ну и наконец я нашел [math]b_{n} = \int\limits_{-1}^{1}f(x)sin{\pi nx}dx = -\int\limits_{-1}^{0}x\sin{\pi nx}dx + \int\limits_{0}^{1}x\sin{\pi nx}dx = (\left.{ \frac{ x }{ \pi n }\cos{\pi nx} - \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\sin{\pi nx }) }\right|_{ -1 }^{ 0 } + (\left.{ -\frac{ x }{ \pi n }\cos{\pi nx} + \frac{ 1 }{ \pi^{2} n^{2}}\sin{\pi nx }) }\right|_{ 0 }^{ 1 } =[/math] [math]= \frac{ 1 }{ \pi n }\cos{(-\pi n)} - \frac{ 1 }{ \pi n }\cos{(-\pi n)} = 0[/math] Ряд Фурье выглядит так: [math]\frac{ 1 }{ 2 } + \sum\limits_{n=1}^{ \infty}(a_{n}\cos{\pi nx} ) = \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 2 }{ \pi ^{2} } \sum\limits_{n=1}^{ \infty}(\frac{ \cos{\pi nx} }{ n^{2} }((-1)^{n} -1 ) )[/math] А вот теперь главный вопрос: для чего я его находил и как он связан с числовым рядом [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }\frac{ 2 }{ (2n + 1)^{2} }[/math], сумму которого я должен с помощью него найти? Подскажите пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Atemyn писал(а): А вот теперь главный вопрос Еще немного упростите полученный ряд. При четных n члены ряда нулевые. Потом подберите такое х, чтобы получился искомый ряд, или искомый ряд умноженный на некоторое число. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: Atemyn |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти сумму числового ряда
в форуме Ряды |
2 |
490 |
10 авг 2016, 18:49 |
|
Найти приближенную сумму знакочередующегося числового ряда
в форуме Ряды |
1 |
428 |
17 дек 2020, 04:44 |
|
Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье | 0 |
755 |
11 май 2017, 19:16 |
|
Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье | 1 |
638 |
01 апр 2020, 15:44 |
|
Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье
в форуме Ряды |
1 |
374 |
16 апр 2020, 17:17 |
|
Нйти сумму числового ряда
в форуме Ряды |
2 |
205 |
19 янв 2020, 19:38 |
|
Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье | 7 |
1055 |
30 апр 2020, 17:36 |
|
Разложить функцию в ряд фурье и найти сумму ряда | 2 |
532 |
20 май 2020, 02:48 |
|
Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье | 15 |
832 |
01 май 2020, 05:45 |
|
Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье | 2 |
766 |
29 янв 2015, 19:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |