Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
351w |
|
|
Подскажите, пожалуйста, решение. |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Получающиеся интегралы берите 2 раза по частям - придете к исходному интегралу и относительно него решите уравнение.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали: 351w, Andy |
||
michel |
|
|
Вот пример с вычисленными коэффициентами ряда Фурье в Mathcad, которые можно допилить.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: 351w |
||
Andy |
|
|
351w писал(а): Подскажите, пожалуйста, решение. Доопределим функцию [math]f(x)=e^{-x}[/math] чётным образом, построив функцию [math]f^{*}(x)[/math] по правилу [math]f^{*}(x)=\left\{\!\begin{aligned} & e^{-x},~\operatorname{if}~0 < x < \pi, \\ & e^{x},~\operatorname{if}~-\pi \leqslant x \leqslant 0. \end{aligned}\right.[/math] Тогда [math]a_0=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} e^{-x} \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi}\left.{\left( -e^{-x} \right) }\right|_{0}^{\pi}=\frac{2 \left( 1-e^{-\pi} \right)}{\pi};[/math] [math]a_k=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \cos{kx} \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=[/math] [math]\left[ \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x= \right][/math] [math]\left[ = \left[ u=\cos{kx},~\operatorname{d}v=e^{-x} \operatorname{d}x,~v=-e^{-x},~\operatorname{d}u=-k \sin{kx} \right] = \right][/math] [math]\left[ =-e^{-x} \cos{kx}-k \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x. \right][/math] В результате первого интегрирования по частям получили, что [math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}-k \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x.[/math] Интегрируем по частям дальше: [math]\left[ \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x= \right][/math] [math]\left[ = \left[ u=\sin{kx},~\operatorname{d}v=e^{-x} \operatorname{d}x,~v=-e^{-x},~\operatorname{d}u=k \cos{kx} \operatorname{d}x \right] = \right][/math] [math]\left[ =-e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x. \right][/math] В результате второго интегрирования по частям получили, что [math]\int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x.[/math] Объединяя результаты двукратного интегрирования по частям, будем иметь [math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}-k \left( -e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x \right),[/math] [math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx}-k^2 \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x,[/math] [math]\left( k^2+1 \right) \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx},[/math] [math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=\frac{-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx}}{k^2+1}[/math] (постоянную интегрирования опускаем)... Нужно продолжить дальше или Вы сами справитесь? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: 351w |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ряд Фурье | 7 |
435 |
27 май 2019, 18:54 |
|
Ряд Фурье | 1 |
341 |
13 янв 2015, 12:14 |
|
Ряд Фурье | 2 |
426 |
29 дек 2021, 20:30 |
|
Ряд Фурье
в форуме Ряды |
2 |
221 |
26 окт 2018, 10:04 |
|
В ряд Фурье f(x)=3x+1, [-1;1], f(x+2)=f(x) | 15 |
830 |
26 июл 2018, 19:19 |
|
Ряд Фурье | 0 |
186 |
26 июл 2022, 21:23 |
|
Ряд фурье | 5 |
401 |
03 мар 2016, 21:05 |
|
Ряд Фурье | 1 |
622 |
28 янв 2018, 11:50 |
|
Ряд Фурье | 4 |
365 |
01 июн 2019, 11:24 |
|
Ряд Фурье | 6 |
738 |
22 фев 2018, 11:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |