Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: В ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 янв 2021, 19:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, решение.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 янв 2021, 20:28 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получающиеся интегралы берите 2 раза по частям - придете к исходному интегралу и относительно него решите уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
351w, Andy
 Заголовок сообщения: Re: В ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 янв 2021, 20:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот пример с вычисленными коэффициентами ряда Фурье в Mathcad, которые можно допилить.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: В ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 03 янв 2021, 08:52 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
Подскажите, пожалуйста, решение.

Доопределим функцию [math]f(x)=e^{-x}[/math] чётным образом, построив функцию [math]f^{*}(x)[/math] по правилу
[math]f^{*}(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& e^{-x},~\operatorname{if}~0 < x < \pi, \\
& e^{x},~\operatorname{if}~-\pi \leqslant x \leqslant 0.
\end{aligned}\right.[/math]

Тогда
[math]a_0=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} e^{-x} \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi}\left.{\left( -e^{-x} \right) }\right|_{0}^{\pi}=\frac{2 \left( 1-e^{-\pi} \right)}{\pi};[/math]

[math]a_k=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \cos{kx} \operatorname{d}x=\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=[/math]

[math]\left[ \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x= \right][/math]

[math]\left[ = \left[ u=\cos{kx},~\operatorname{d}v=e^{-x} \operatorname{d}x,~v=-e^{-x},~\operatorname{d}u=-k \sin{kx} \right] = \right][/math]

[math]\left[ =-e^{-x} \cos{kx}-k \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x. \right][/math]


В результате первого интегрирования по частям получили, что
[math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}-k \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x.[/math]


Интегрируем по частям дальше:
[math]\left[ \int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x= \right][/math]

[math]\left[ = \left[ u=\sin{kx},~\operatorname{d}v=e^{-x} \operatorname{d}x,~v=-e^{-x},~\operatorname{d}u=k \cos{kx} \operatorname{d}x \right] = \right][/math]

[math]\left[ =-e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x. \right][/math]


В результате второго интегрирования по частям получили, что
[math]\int e^{-x} \sin{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x.[/math]


Объединяя результаты двукратного интегрирования по частям, будем иметь
[math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}-k \left( -e^{-x} \sin{kx}+k \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x \right),[/math]

[math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx}-k^2 \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x,[/math]

[math]\left( k^2+1 \right) \int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx},[/math]

[math]\int e^{-x} \cos{kx} \operatorname{d}x=\frac{-e^{-x} \cos{kx}+ke^{-x} \sin{kx}}{k^2+1}[/math]

(постоянную интегрирования опускаем)...

Нужно продолжить дальше или Вы сами справитесь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
351w
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Slambersd

7

435

27 май 2019, 18:54

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

kseniya29

1

341

13 янв 2015, 12:14

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Treyne

2

426

29 дек 2021, 20:30

Ряд Фурье

в форуме Ряды

Bonttpol

2

221

26 окт 2018, 10:04

В ряд Фурье f(x)=3x+1, [-1;1], f(x+2)=f(x)

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

zdanek

15

830

26 июл 2018, 19:19

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Mephisto

0

186

26 июл 2022, 21:23

Ряд фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

cincinat

5

401

03 мар 2016, 21:05

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Sakura

1

622

28 янв 2018, 11:50

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

fytkord

4

365

01 июн 2019, 11:24

Ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

nastyatest

6

738

22 фев 2018, 11:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved