Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 27 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Парадокс Рассела заключается не в том, что множество всех множеств противоречит аксиоме регулярности. Он является следствием неограниченной схемы свертывания, или схемы существования множества (unrestricted comprehension). Эта схема говорит, что для любой формулы [math]A(y)[/math] имеет место [math]\exists x\forall y\;(y\in x\leftrightarrow A(y))[/math]. То есть, каково бы ни было свойство [math]A[/math], все множества [math]y[/math], удовлетворяющие [math]A[/math], можно собрать в одно множество [math]x[/math]. Если вместо [math]A[/math] подставить формулу [math]\neg(y\in y)[/math], полученная формула будет ложной в любой интерпретации. См. пример 3.174 в книге: Пентус М.Р. Введение в математическую логику.
Именно поэтому в аксиоматической теории множеств неограниченная схема свертывания была заменена ограниченной: [math]\forall z\exists x\forall y\;(y\in x\leftrightarrow x\in z\land A(y))[/math]. Таким образом, [math]x[/math] включает себя только те [math]y[/math], удовлетворяющие [math]A[/math], которые являются элементами уже построенного множества [math]z[/math]. В этой системе аксиом очевидного парадокса не получается. Но отсюда следует, что множества всех множеств не существует, так как в противном случае его можно было бы подставить вместо [math]z[/math] и получилась бы схема неограниченного свертывания. Также нужно добавить, что аксиоматическая теория множеств без аксиомы регулярности изучается. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
В предыдущем сообщении схема ограниченного свертывания написано не совсем правильно. Должно быть [math]\forall z\exists x\forall y\;(y\in x\leftrightarrow y\in z\land A(y))[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
3D Homer писал(а): Парадокс Рассела заключается не в том, что множество всех множеств противоречит аксиоме регулярности. Он является следствием неограниченной схемы свертывания, или схемы существования множества (unrestricted comprehension). Эта схема говорит, что для любой формулы [math]A(y)[/math] имеет место [math]\exists x\forall y\;(y\in x\leftrightarrow A(y))[/math]. То есть, каково бы ни было свойство [math]A[/math], все множества [math]y[/math], удовлетворяющие [math]A[/math], можно собрать в одно множество [math]x[/math]. Если вместо [math]A[/math] подставить формулу [math]\neg(y\in y)[/math], полученная формула будет ложной в любой интерпретации. См. пример 3.174 в книге: Пентус М.Р. Введение в математическую логику. Из википедии по Вашей ссылке: Цитата: Из схемы свёртывания можно вывести противоречие. Одно из наиболее известных выводимых из неё противоречий называется парадоксом Рассела. Рассмотрим формулу [math]\varphi ^ \leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math] Схема свёртывания утверждает, что существует такое множество [math]A[/math], что [math]\forall x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math] Это утверждение, являющееся следствием аксиомы регулярности и как раз оно и приводит к противоречию: Цитата: Возьмём [math]x = A[/math]Тогда [math]A\in A\leftrightarrow \lnot (A\in A)[/math]- противоречие. Ну и стандартный вывод- не существует множества всех множеств. Но само -то это утверждение о том, что никакое множество не включает себя в качестве подмножества (т.е. по сути аксиома регулярности) может быть неверно и противоречие возникаеи из-за этого, а не из противоречивости понятия множества всех множеств. Ну а далее была создана схема ограниченного свертывания, которая не допускает к рассмотрению множества всех множеств как понятия противоречивого. Но конечно есть маргиналы, рассматривающие альтернативные аксиоматизации. Но сам мейнстрим ничуть не более истинен, чем эти альтернативные рассмотрения, однако именно на нем строят всю математику, а затем и физику и другие области и его изучают в ВУЗах. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
ivashenko писал(а): Но само -то это утверждение о том, что никакое множество не включает себя в качестве подмножества (т.е. по сути аксиома регулярности) может быть неверно Предположим.ivashenko писал(а): и противоречие возникает из-за этого Непонятно, как это связано с предыдущей цитатой. Это все равно, что сказать: "Утверждение о том, что завтра будет хорошая погода, может быть неверным, и противоречие возникает из-за этого". Из-за того, что какое-то утверждение может быть неверным, противоречия не возникает. Противоречие возникает из того, что какое-то утверждение должно быть истинным и ложным одновременно.Еще раз: парадокс Рассела не имеет ничего общего с тем, может ли множество содержать себя в качестве элемента или нет. Можно рассмотреть теорию множеств, где это возможно. И если к ней добавить аксиому неограниченного свертывания, то именно ее следствием будет парадокс: утверждение [math]A\in A[/math] должно быть истинно и ложно одновременно. Если не рассматривать аксиому неограниченного свертывания, то про истинность или ложность утверждения [math]A\in A[/math] ничего не утверждается. ivashenko писал(а): Почему им не пришла мысль нарушить для множества всех множеств аксиому регулярности (фундирования), ведь тогда множество всех множеств по определению включало бы себя в качестве элемента и парадокс Рассела не просто разрешился бы, но в принципе не мог бы возникнуть. Возможность отказаться от аксиомы регулярности активно изучается, но парадокс Рассела возник бы и в такой теории, если в ней в тому же есть аксиома неограниченного свертывания. Поэтому я считаю, что на вопрос в сообщении 1 дан ответ. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Но само -то это утверждение о том, что никакое множество не включает себя в качестве подмножества (т.е. по сути аксиома регулярности) может быть неверно Предположим.ivashenko писал(а): и противоречие возникает из-за этого Непонятно, как это связано с предыдущей цитатой. Это все равно, что сказать: "Утверждение о том, что завтра будет хорошая погода, может быть неверным, и противоречие возникает из-за этого". Из-за того, что какое-то утверждение может быть неверным, противоречия не возникает. Противоречие возникает из того, что какое-то утверждение должно быть истинным и ложным одновременно.Противоречия возникают вследствие допущенных ошибок. Под неверным я понимаю ошибочным(т.е. являющимся источником противоречия). Неверным модет быть как утверждение, так и рассматриваемый объект. В данном случае, чтобы спасти теорию пожертвовали объектом(множеством всех множеств), объявив его противоречивым(ошибочным, неверным, несущим противоречие) и видоизменили схему свертывания так, чтобы исключить рассмотрение этого противоречивого понятия. Конечно Вы правы, следовало сказать не "противоречие возникло из-за неверного утверждения", а " "причиной противоречия могло стать неверное(ведущее к противоречию) утверждение в виде аксиомы регулярности, а не множество всех множеств, которое вполне может оказаться и непротиворечивым объектом в таком случае". 3D Homer писал(а): Еще раз: парадокс Рассела не имеет ничего общего с тем, может ли множество содержать себя в качестве элемента или нет. Можно рассмотреть теорию множеств, где это возможно. И если к ней добавить аксиому неограниченного свертывания, то именно ее следствием будет парадокс: утверждение [math]A\in A[/math] должно быть истинно и ложно одновременно. Если не рассматривать аксиому неограниченного свертывания, то про истинность или ложность утверждения [math]A\in A[/math] ничего не утверждается. Аксиома неограниченного свертывания- следствие аксиомы регулярности. Если Вы отказываетесь от аксиомы регулярности, то никакой аксиомы неограниченного свертывания не может быть. Парадокс Рассела как раз можно устранить отрицанием аксиомы регулярности и, соответственно схемы бесконечного свертывания. Т.е. если множество всех множеств включает себя в качестве элемента по определению, то ни о какой схеме бесконечного свертывания не может быть речи. Эта схема будет противоречить определению. 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Почему им не пришла мысль нарушить для множества всех множеств аксиому регулярности (фундирования), ведь тогда множество всех множеств по определению включало бы себя в качестве элемента и парадокс Рассела не просто разрешился бы, но в принципе не мог бы возникнуть. Возможность отказаться от аксиомы регулярности активно изучается, но парадокс Рассела возник бы и в такой теории, если в ней в тому же есть аксиома неограниченного свертывания. Поэтому я считаю, что на вопрос в сообщении 1 дан ответ.Схема неограниченного свертывания невозможна в теории в которой множества включают себя в качестве элемента по определению(т.е. в которой нарушена аксиома регулярности). Такая схема будет противоречить определению множества. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
ivashenko писал(а): Противоречия возникают вследствие допущенных ошибок. Противоречие — это ситуация, когда [math]A[/math] и [math]\neg A[/math] истинны одновременно для для некоторого утверждения [math]A[/math]. Противоречия встречаются и без ошибок, например, в доказательствах от противного. ivashenko писал(а): Аксиома неограниченного свертывания- следствие аксиомы регулярности. Почему? Далее, поскольку ZFC содержит аксиому регулярности, вы утверждаете, что аксиома неограниченного свертывания тоже следует из ZFC? Думаю, вы употребляете слово "следствие" не в обычном математическом смысле, а имеете в виду что-то вроде "последствие".ivashenko писал(а): Если Вы отказываетесь от аксиомы регулярности, то никакой аксиомы неограниченного свертывания не может быть. Опять, почему?ivashenko писал(а): Схема неограниченного свертывания невозможна в теории в которой множества включают себя в качестве элемента по определению(т.е. в которой нарушена аксиома регулярности). Схема неограниченного свертывания приведена во втором сообщении. Поэтому она возможна. Вообще непонятно, что значит схема возможна или невозможна.ivashenko писал(а): Такая схема будет противоречить определению множества. Определения множества не существует. Именно поэтому были придуманы системы аксиом, описывающие, как должны вести себя множества.Вы отказываетесь принимать тот факт, что противоречие следует из одной схемы неограниченного свертывания, безотносительно к другим аксиомам. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Противоречия возникают вследствие допущенных ошибок. Противоречие — это ситуация, когда [math]A[/math] и [math]\neg A[/math] истинны одновременно для для некоторого утверждения [math]A[/math]. Противоречия встречаются и без ошибок, например, в доказательствах от противного. Вы даете определение противоречия против которого я не возражаю. Но я хочу сказать, что у противоречий есть причины, поскольку вся логика строится на причинно-следственных связях. Причинами противоречий являются ошибочные утверждения или объекты, вводимые умышленно или неумышленно. В доказательствах от противного ошибочное утверждение полагаются умышленно и в результате этого возникает противоречие. 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Аксиома неограниченного свертывания- следствие аксиомы регулярности. Почему? Далее, поскольку ZFC содержит аксиому регулярности, вы утверждаете, что аксиома неограниченного свертывания тоже следует из ZFC? Думаю, вы употребляете слово "следствие" не в обычном математическом смысле, а имеете в виду что-то вроде "последствие".Еще раз приведу цитату из Вашей ссылки на википедию: Цитата: Схема свёртывания утверждает, что существует такое множество [math]A[/math], что [math]\forall x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math] Если перевести на человеческий, то это значит, что никакой x не может себя включать в качестве подмножества. Это утверждение, согласно википедии, является следствием аксиомы регулярности и аксиомы пары т.е. выводится из них: Цитата: Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя» и «Не существует бесконечной последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего». 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Если Вы отказываетесь от аксиомы регулярности, то никакой аксиомы неограниченного свертывания не может быть. Опять, почему?Ну рассудите сами, допустим аксиома регулярности не выполняется. Это значит, что множество может содержать себя в качестве подмножества, таковы его свойства:[math]\forall x\in A\leftrightarrow (x\in x)[/math], подставив вместо x, A, получим тождество: [math]\forall A\in A\leftrightarrow (A\in A)[/math] и приняв это разве можете Вы записать теперь [math]\forall x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math]? Разве не будет это утверждение (схема неограниченного свертывания) заведомо ложным и противоречивым? 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Схема неограниченного свертывания невозможна в теории в которой множества включают себя в качестве элемента по определению(т.е. в которой нарушена аксиома регулярности). Схема неограниченного свертывания приведена во втором сообщении. Поэтому она возможна. Вообще непонятно, что значит схема возможна или невозможна.Как Вы сами сказали выше, свойства множества определяются набором аксиом. Если мы убираем аксиому регулярности, то множество может включать себя в качестве подмножества-это его свойство. Зная это можем ли мы применять к этому множеству заведомо ложную в данных условиях схему неограниченного свертывания? 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Такая схема будет противоречить определению множества. Определения множества не существует. Именно поэтому были придуманы системы аксиом, описывающие, как должны вести себя множества.Хорошо, такая схема будет противоречить системе аксиом, определяющей свойства множества. Т.е. она будет влечь за собой аксиому регулярности, которую мы исключили и требовать установления дополнительных ограничений на свойства множеств, как то: "множество не может включать себя в качестве элемента". 3D Homer писал(а): Вы отказываетесь принимать тот факт, что противоречие следует из одной схемы неограниченного свертывания, безотносительно к другим аксиомам. Наоборот, это математики отказываются принимать, что противоречие заключено в аксиоме. Они утверждают, что противоречие содержится в самом понятии "множество всех множеств", а схема неограниченного свертывания только помогает эту противоречивость "множества всех множеств" обнаружить. И чтобы это противоречивое, неправильное "множество всех множеств" не мешало дальше рассуждать математикам, они модернизировали схему свертывания таким образом, чтобы исключить саму возможность рассмотрения этого противоречивого объекта. Но можно было бы и поменять аксиоматику и там поискать пути к устранению противоречий. Я понял, с Ваших слов, что теперь этим наконец-то активно занимаются. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
ivashenko писал(а): 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Аксиома неограниченного свертывания- следствие аксиомы регулярности. Почему?Цитата: Схема свёртывания утверждает, что существует такое множество [math]A[/math], что [math]\forall x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math] Если перевести на человеческий, то это значит, что никакой x не может себя включать в качестве подмножества. Это утверждение, согласно википедии, является следствием аксиомы регулярности и аксиомы пары т.е. выводится из них: Цитата: Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя» и «Не существует бесконечной последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего». Во-вторых, я не согласен, что эта формула говорит, что "никакой x не может себя включать в качестве подмножества". Она говорит, что все такие [math]x[/math] собраны в семейство [math]A[/math]. В-третьих, даже если бы она это и говорила, это лишь всего лишь одна аксиома из бесконечного множества аксиом неограниченного свертывания. Поэтому это множество и называется схемой аксиом, а не конкретной аксиомой, потому что в эту схему можно подставить любую формулу [math]\varphi(x)[/math]. Таким образом, если бы ваше утверждение было верно, то эта аксиома действительно была бы следствием аксиомы регулярности. Но это не значит, что любая аксиома, то есть вся схема неограниченной свертывания, является следствием аксиомы регулярности. ivashenko писал(а): 3D Homer писал(а): ivashenko писал(а): Если Вы отказываетесь от аксиомы регулярности, то никакой аксиомы неограниченного свертывания не может быть. Опять, почему?Ну рассудите сами, допустим аксиома регулярности не выполняется. Это значит, что множество может содержать себя в качестве подмножества, таковы его свойства:[math]\forall x\in A\leftrightarrow (x\in x)[/math], подставив вместо x, A, получим тождество: [math]\forall A\in A\leftrightarrow (A\in A)[/math] и приняв это разве можете Вы записать теперь [math]\forall x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math]? Разве не будет это утверждение (схема неограниченного свертывания) заведомо ложным и противоречивым? ivashenko писал(а): Как Вы сами сказали выше, свойства множества определяются набором аксиом. Если мы убираем аксиому регулярности, то множество может включать себя в качестве подмножества-это его свойство. Зная это можем ли мы применять к этому множеству заведомо ложную в данных условиях схему неограниченного свертывания? Я пока так и не понял, почему в этих условиях схема неограниченного свертывания ложна. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
1. Следствие аксиом регулярности и выбора пары: любой элемент любого множества не включает себя в качестве подмножества. Теперь смотрим на схему неограниченного свертывания: [math]\forall x\;x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math]. С какого-то перепуга мы решили, что можно вместо x подставить A и получить противоречие. Но как только мы в левую часть подставим вместо x A и она примет вид: [math]A\in A[/math] и даже не успеем коснуться правой части, то этот вид уже сам по себе будет противоречить вышеприведенному следствию из аксиом регулярности и выбора пары, а соответственно и самим этим аксиомам (или одной из них).
2. Теперь положим, что аксиома регулярности не принята нами. Соответственно множества могут включать себя в качестве элементов. Запишем вновь схему свертывания: [math]\forall x\;x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math] Но верно ли теперь данное утверждение? С чего мы взяли, что существуют множества все элементы которых не включают себя в качестве элемента? Ведь теперь аксиомы регулярности нет и допускаются множества и элементы, включающие себя в качестве элемента. И как минимум нам неизвестно справедливо ли данное утверждение: [math]\forall x\;x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)[/math]. Положим оно справедливо. Тогда попробуем подставить вместо x, A. Получим противоречие. Но это противоречие говорит нам лишь о том, что множество всех множеств включает себя в качестве элемента и схема неограниченного свертывания к нему неприменима. Т.е. здесь есть непротиворечивое множество всех множеств, включающее себя в качестве элемента к которому неприменима схема неограниченного свертывания.Но здесь также допускаются множества, не включающие себя в качестве элемента к которым схема неограниченного свертывания применима и не вызывает противоречий.Т.о. противоречие возникает не из схемы неограниченного свертывания и не из множества всех множеств, а из неправомерного применения схемы неограниченного свертывания к множеству всех множеств. Сами по себе схема свертывания и множество всех множеств противоречий не несут. Из всего вышесказанного делаем вывод, что противоречивость в первом варианте возникает в результате приятия аксиомы регулярности и мы освобождаемся от противоречий во втором случае в результате отказа от аксиомы регулярности. Аксиома регулярности ложна (несет противоречие). Также выясняются свойство множества всех множеств включать себя в качестве элемента. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 27 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Парадокс Рассела и непротиворечивая аксиоматика
в форуме Палата №6 |
27 |
2216 |
21 окт 2014, 00:01 |
|
Парадокс
в форуме Теория вероятностей |
0 |
286 |
25 апр 2019, 11:50 |
|
Парадокс
в форуме Теория вероятностей |
2 |
307 |
28 май 2019, 19:13 |
|
Парадокс Паррондо
в форуме Теория вероятностей |
1 |
225 |
05 июн 2020, 15:53 |
|
Парадокс Греллинга
в форуме Размышления по поводу и без |
11 |
449 |
27 фев 2018, 09:14 |
|
Объяснить парадокс
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
4 |
695 |
28 ноя 2017, 23:59 |
|
Парадокс болвана
в форуме Палата №6 |
6 |
454 |
16 июн 2021, 11:16 |
|
Парадокс лжеца-2
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
364 |
07 май 2016, 16:46 |
|
Парадокс лжеца | 8 |
511 |
25 апр 2016, 23:36 |
|
Парадокс Монти-Холла
в форуме Теория вероятностей |
54 |
800 |
09 ноя 2020, 11:50 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |