Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Один парадокс бесконечности и сумма натуральных -1/12
СообщениеДобавлено: 26 июн 2019, 14:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В википедии встретил интересный и простой метод суммирования натурального ряда, который придумал Рамануджан. Так вот, отрицательная сумма натурального ряда возникает благодаря следующему парадоксу:

Пусть есть ряд:[math]1+2+3+4+5+6+......[/math], сумму которого мы попытаемся вычислить и обозначим как [math]c_1[/math]
И есть ряд:[math]4+8+12+14+20+24+.....[/math], сумму которого обозначим как [math]c_2[/math].
Обратим внимание на такой парадокс:
1). С одной стороны множество элементов второго ряда - есть подмножество элементов первого и суумма второго ряда должна быть меньше, чем сумма первого.
2). Но с другой стороны, второй ряд - это тот же первый ряд, каждый элемент которого умножен на 4, т.е. сумма элементов второго ряда должна быть в 4 раза больше, чем сумма элементов первого ряда.
Эти подходы противоречат друг другу, хотя по отдельности кажутся логически обоснованными, именно на основе этого противоречия и строится метод суммирования:

Сначала Рамануджан воспринимает второй ряд как подмножество первого, вычитает его из первого:
[math](1+2+3+4+5+6+......)-(4+8+12+14+20+24+....)=1-2+3-4+5-6+7-8+......[/math] и получает знакочередующийся натуральный ряд, сумму которого ранее вычислили различными способами суммирования и получили [math]\frac{1}{4}[/math], затем он воспринимает второй ряд как первый, каждый элемент которого умножен на 4: [math]c_2=4c_1[/math] и также как и в предыдущем случае вычитает из первого ряда второй: [math]c_1-c_2=c_1-4c_1=-3c_1[/math]. Далее, разность в первой трактовке он приравнивает к разности во второй трактовке:[math]1-2+3-4+5-6+7-8+....=-3c_1[/math]. Учитывая, что сумма знакочередующегося натурального ряда равна [math]\frac{1}{4}[/math], получаем, что сумма натурального ряда [math]c_1=-\frac{1}{12}[/math].

Т.е. по сути был поставлен знак равенства между двумя противоречащими друг другу трактовками, само существование которых является парадоксальным.
Интересно, известен ли этот парадокс и как он разрешается в математике или же его не пытаются преодолеть, а напротив, лишь используют для суммирования расходящихся рядов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Один парадокс бесконечности и сумма натуральных -1/12
СообщениеДобавлено: 26 июн 2019, 15:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Маленькая поправочка: четвертый член второго ряда 16, а не 14, конечно же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Один парадокс бесконечности и сумма натуральных -1/12
СообщениеДобавлено: 27 июн 2019, 01:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
1). С одной стороны множество элементов второго ряда - есть подмножество элементов первого и суумма второго ряда должна быть меньше, чем сумма первого.
2). Но с другой стороны, второй ряд - это тот же первый ряд, каждый элемент которого умножен на 4, т.е. сумма элементов второго ряда должна быть в 4 раза больше, чем сумма элементов первого ряда.

Да, именно в этом вся соль.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Еще один квантовый парадокс

в форуме Палата №6

O Micron

18

385

06 дек 2021, 22:04

Еще один парадокс теории относительности

в форуме Механика

Exzellenz

88

1203

28 янв 2022, 13:16

Серия, сумма геометр прогрессии, n стремится к бесконечности

в форуме Алгебра

afraumar

8

470

02 апр 2015, 19:58

Сумма натуральных чисел

в форуме Алгебра

serg10

2

190

13 сен 2019, 10:13

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Sviatoslav

6

1612

05 ноя 2014, 22:36

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Ряды

dexforint

2

439

21 мар 2016, 18:35

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Дискуссионные математические проблемы

-1[]12

5

159

13 ноя 2023, 00:25

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Nikolay_Tyan

85

1694

04 июн 2019, 20:29

Сумма последовательных натуральных чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

spins06

8

1728

30 июн 2015, 19:06

Сумма всех произведений k чисел из n натуральных

в форуме Алгебра

ArtemKo383

4

178

11 мар 2023, 07:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved