Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Пусть есть ряд:[math]1+2+3+4+5+6+......[/math], сумму которого мы попытаемся вычислить и обозначим как [math]c_1[/math] И есть ряд:[math]4+8+12+14+20+24+.....[/math], сумму которого обозначим как [math]c_2[/math]. Обратим внимание на такой парадокс: 1). С одной стороны множество элементов второго ряда - есть подмножество элементов первого и суумма второго ряда должна быть меньше, чем сумма первого. 2). Но с другой стороны, второй ряд - это тот же первый ряд, каждый элемент которого умножен на 4, т.е. сумма элементов второго ряда должна быть в 4 раза больше, чем сумма элементов первого ряда. Эти подходы противоречат друг другу, хотя по отдельности кажутся логически обоснованными, именно на основе этого противоречия и строится метод суммирования: Сначала Рамануджан воспринимает второй ряд как подмножество первого, вычитает его из первого: [math](1+2+3+4+5+6+......)-(4+8+12+14+20+24+....)=1-2+3-4+5-6+7-8+......[/math] и получает знакочередующийся натуральный ряд, сумму которого ранее вычислили различными способами суммирования и получили [math]\frac{1}{4}[/math], затем он воспринимает второй ряд как первый, каждый элемент которого умножен на 4: [math]c_2=4c_1[/math] и также как и в предыдущем случае вычитает из первого ряда второй: [math]c_1-c_2=c_1-4c_1=-3c_1[/math]. Далее, разность в первой трактовке он приравнивает к разности во второй трактовке:[math]1-2+3-4+5-6+7-8+....=-3c_1[/math]. Учитывая, что сумма знакочередующегося натурального ряда равна [math]\frac{1}{4}[/math], получаем, что сумма натурального ряда [math]c_1=-\frac{1}{12}[/math]. Т.е. по сути был поставлен знак равенства между двумя противоречащими друг другу трактовками, само существование которых является парадоксальным. Интересно, известен ли этот парадокс и как он разрешается в математике или же его не пытаются преодолеть, а напротив, лишь используют для суммирования расходящихся рядов? |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Маленькая поправочка: четвертый член второго ряда 16, а не 14, конечно же.
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
ivashenko писал(а): 1). С одной стороны множество элементов второго ряда - есть подмножество элементов первого и суумма второго ряда должна быть меньше, чем сумма первого. 2). Но с другой стороны, второй ряд - это тот же первый ряд, каждый элемент которого умножен на 4, т.е. сумма элементов второго ряда должна быть в 4 раза больше, чем сумма элементов первого ряда. Да, именно в этом вся соль. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Еще один квантовый парадокс
в форуме Палата №6 |
18 |
385 |
06 дек 2021, 22:04 |
|
Еще один парадокс теории относительности
в форуме Механика |
88 |
1203 |
28 янв 2022, 13:16 |
|
Серия, сумма геометр прогрессии, n стремится к бесконечности
в форуме Алгебра |
8 |
470 |
02 апр 2015, 19:58 |
|
Сумма натуральных чисел
в форуме Алгебра |
2 |
190 |
13 сен 2019, 10:13 |
|
Сумма всех натуральных чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
6 |
1612 |
05 ноя 2014, 22:36 |
|
Сумма всех натуральных чисел
в форуме Ряды |
2 |
439 |
21 мар 2016, 18:35 |
|
Сумма всех натуральных чисел | 5 |
159 |
13 ноя 2023, 00:25 |
|
Сумма всех натуральных чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
85 |
1694 |
04 июн 2019, 20:29 |
|
Сумма последовательных натуральных чисел | 8 |
1728 |
30 июн 2015, 19:06 |
|
Сумма всех произведений k чисел из n натуральных
в форуме Алгебра |
4 |
178 |
11 мар 2023, 07:01 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |