Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 111 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 10 май 2022, 13:45 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 995
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найденный вариант вывода, на мой взгляд, наиболее интересный.
Поскольку [math]a^2+b^2<(a+b)^2[/math], то будет верным:

[math]a^2+b^2=(a+b-q)^2[/math], где [math]q \in \mathbb{N}[/math]

Тогда:

[math]q^2-2(a+b)q+2ab=0[/math], откуда следует:

[math]b=\frac{ q(2a-q) }{ 2(a-q) }[/math]

Пусть [math]p=a[/math], следовательно:

[math]b=\frac{ q(2p-q) }{ 2(p-q) }[/math]

[math]a=p[/math]

Приведём к общему знаменателю, и получаем следующую параметризацию для [math]a^2+b^2=c^2[/math]:

[math]a=2p(p-q)[/math]

[math]b=q(2p-q)[/math]

[math]c=2p^2+q^2-2pq[/math], где: [math]p>q[/math]; [math]p, q \in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 13:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap, ерундой не занимайтесь. Нету различных параметризаций пифагоровых троек. НЕТУ!. Есть различные формы одной и той же параметризации. В Вашем случае

[math]a=2p(p-q)[/math]

[math]b=p^2-(p-q)^2[/math]

[math]c=p^2+(p+q)^2[/math]

Просто получена заменой q на p-q. Можете делать какие угодно замены - что то новое не получится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 14:18 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 995
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows
В каком смысле другая форма? Другая форма - это и есть другая параметризация, поскольку параметры связаны по-другому.
Ну да, другая форма, так как вывод я продемонстрировал другой. Если есть формула для всех троек, то понятно, что любая другая параметризация всех троек будет давать те же тройки: никто и не претендует на нахождение каких-то троек в дополнение ко всем существующим. Я показал, что не обязательно [math]b[/math] представляется двумя квадратами переменных. В каких-то преобразованиях другая запись может оказаться удобнее, а может помочь что-то увидеть, поэтому хорошо, когда она известна имхо, но Вы,конечно, вправе думать, как Вам угодно.
PS
То, на что Вы обратили внимание, мне было известно, и эта трансформация лишь показывает, что формула верна также для всех существующих троек.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 14:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows имеет в виду, что ваша параметризация просто получается из классической такой заменой: [math]m=p[/math] и [math]n=p-q[/math]. Именно в этом смысле нет ничего нового. Можете подставлять вместо [math]m[/math] и [math]n[/math] любые другие значения, лишь бы они пробегали весь натуральный ряд. Это ничего не добавляет, всего лишь тождественные преобразования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 15:12 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 995
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Так оно ничего лишнего и не должно добавлять) Просто другие переменные, другая параметризация. Вы же не будете настаивать на том, что [math]q[/math] - это [math]n[/math]? Замену [math]n=p-q[/math] ещё нужно было увидеть, вот так просто сходу взять и сделать её нужную - вероятность крайне мала. Мне это удалось после показанного вывода и приравнивания из интереса к традиционной параметризации. А вот на практике меня часто выручали именно такой вид выражений, особенно в сложной ситуации с четвёртой степенью очень удобно легло выражение [math]b[/math] через [math]a[/math] и [math]q[/math], чего нельзя было достичь стандартно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 16:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Так оно ничего лишнего и не должно добавлять) Просто другие переменные, другая параметризация.

О да, другие переменные - другая параметризация!
3axap писал(а):
Вы же не будете настаивать на том, что [math]q[/math] - это [math]n[/math]? Замену [math]n=p-q[/math] ещё нужно было увидеть, вот так просто сходу взять и сделать её нужную - вероятность крайне мала.

Здесь ключевое - "нужную". Нужную кому и зачем? Ещё раз - любую функцию можно подставить в каноническую параметризацию, лишь бы область её значений совпадала со множеством натуральных чисел. Что это даст? Вам лично что и когда это дало? Что вы надеетесь получить с помощью "туда-сюда" переброски переменных и тождественных преобразований? Конкретно от данного "нового" вида старой канонической параметризации - чего вы ждёте?
3axap писал(а):
Мне это удалось после показанного вывода и приравнивания из интереса к традиционной параметризации. А вот на практике меня часто выручали именно такой вид выражений, особенно в сложной ситуации с четвёртой степенью очень удобно легло выражение [math]b[/math] через [math]a[/math] и [math]q[/math], чего нельзя было достичь стандартно.

Если не трудно, поясните, в каких случаях лично вас это вот "выручало"? Как этого достичь "стандартно" вам уже писали. Подстановкой вместо m и n простой линейной функции с указанным множеством значений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 19:14 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 995
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Если не трудно, поясните, в каких случаях лично вас это вот "выручало"

Вы же видели две моих параметризации для семейств кубоидов Эйлера в соседней теме? В каждой из двух этих параметризаций квадраты трёх выражений в сумме попарно составляют полные квадраты. Вам не приходило в голову, как же я их нашёл?
А вот вам ещё конкретный пример применения:
viewtopic.php?f=48&t=77086
Я вам могу попозже найти то уравнение полностью, и попробуете сами параметризовать его при помощи традиционной формулы... Там очень громоздко будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 12 май 2022, 21:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Вы же видели две моих параметризации для семейств кубоидов Эйлера в соседней теме? В каждой из двух этих параметризаций квадраты трёх выражений в сумме попарно составляют полные квадраты. Вам не приходило в голову, как же я их нашёл?

Не приходило. Их, кроме вас, никто не проверял. И "сработают" они только тогда, когда будет найден СК, то есть, скорее всего никогда (если длина хотя бы одной стороны СК, в предположении его существования, порядка [math]10^{20}[/math]). Это оставляя в стороне вопросы о том, насколько сама эта параметризация лучше хорошо организованного последовательного перебора с отбрасыванием явно лишнего. И не пропускает ли необосновано она какие-либо варианты.
Мне больше по душе ваше доказательство невозможности существования СК. Да, в нём обнаружился существенный пробел, но это было именно красивое рассуждение. Относительно лаконичное, без слепой веры в то, что переименовав и чуть изменив параметры, мы испытаем озарение и катарсис.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 13 май 2022, 10:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 апр 2019, 04:57
Сообщений: 1208
Откуда: Грузия
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
41 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Параметры можно менять но сут от этого не изменится ,

есть кольцо для троек и как бы вы не меняли параметры новый закон не получите .

Но можно много чего нового усмотреть под разным строем ,к примеру если настроите параметры
по остаткам или разницей между С и A B за начало взять шаг 1 и т.д по возрастанию шага .

Шаг 1 всего одна последовательность где разница квадратов равна квадрату ряда нечетных чисел
от 3-5-7.........и с связью с гипотезой Коллатца (это не возможно показать без спкц.параметров .)
n | | approximation
1 | 5/4 | 1.25
2 | 13/12 | 1.08333
3 | 25/24 | 1.04167
4 | 41/40 | 1.025
5 | 61/60 | 1.01667
6 | 85/84 | 1.0119
7 | 113/112 | 1.00893
8 | 145/144 | 1.00694
9 | 181/180 | 1.00556
10 | 221/220 | 1.00455
11 | 265/264 | 1.00379
12 | 313/312 | 1.00321
13 | 365/364 | 1.00275
14 | 421/420 | 1.00238
15 | 481/480 | 1.00208

по остатку

Изображение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 08 фев 2023, 11:33 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 995
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все известные параметризации асимметричны. Задался вопросом: возможна ли симметричная формула параметризации пифагоровых катетов? Привожу такое решение. Пифагорова тройка удовлетворяет:
[math]a^2+b^2=c^2[/math], где [math]a, b, c \in \mathbb{N}[/math].
1.Так как [math]c>a[/math], то пусть [math]c=a+m[/math], [math]m \in \mathbb{N}[/math], тогда: [math]a=\frac{ b^2-m^2 }{ 2m }[/math]
2. С другой стороны, аналогично: [math]c>b[/math], тогда пусть [math]c=b+n[/math], [math]n \in \mathbb{N}[/math], тогда: [math]b=\frac{ a^2-n^2 }{ 2n }[/math].
3. Объединим в одну систему 1 и 2:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a=\frac{ b^2-m^2 }{ 2m } \\
& b=\frac{ a^2-n^2 }{ 2n }
\end{aligned}\right.[/math]


Отсюда: [math]\left[\!\begin{aligned}
& a=m+\sqrt{2mn} \\
& b=n+\sqrt{2mn}
\end{aligned}\right.[/math]
, где [math]m[/math] и [math]n[/math] взаимно просты, [math]2mn= \Box[/math].

Получилась полностью симметричная интересная формула.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.  Страница 8 из 12 [ Сообщений: 111 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Алгоритм пифагоровых троек

в форуме Палата №6

Ferma

33

2308

13 фев 2016, 13:13

Динамика пифагоровых троек

в форуме Размышления по поводу и без

bitango

5

512

21 авг 2018, 20:41

Определение пифагоровых троек

в форуме Палата №6

Markopolo

87

6002

26 май 2014, 09:17

Расчет Пифагоровых троек

в форуме Палата №6

ALOKIN

33

920

11 июл 2021, 12:38

Критерий для расчета пифагоровых троек

в форуме Палата №6

izya

1

466

06 ноя 2015, 11:55

Структура пространства пифагоровых троек

в форуме Дискуссионные математические проблемы

bitango

18

506

19 дек 2022, 16:11

Просто о сложном - о генерации пифагоровых троек

в форуме Размышления по поводу и без

ivanovbp

30

1173

22 окт 2021, 12:17

Оптимизация генератора троек

в форуме Информатика и Компьютерные науки

7alek7

44

602

16 май 2023, 04:39

Пример рядов элементов, хит троек ,

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

oleg dmitryevx

0

136

25 апр 2023, 11:13

Вопросы о пифагоровых тройках

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

34

859

10 июл 2019, 22:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved