Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=46638
Страница 68 из 421

Автор:  Nataly-Mak [ 03 мар 2016, 09:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox
вопрос об ортогональных парах изоморфных ДЛК не даёт мне покоя. Ну, не сходятся у меня концы с концами.
Прошу ещё раз посмотреть мои рассуждения и найти в них ошибку.

Итак, это основной ДЛК Брауна в первозданном виде:

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

Обозначим его квадрат А.

Этот ДЛК имеет 4 ортогональных диагональных соквадрата. Два из них были найдены самим Брауном и два нашёл О. Заикин.
Пока рассмотрим два из этих ортогональных ДЛК.
Квадрат B (это ортогональный соквадрат, найденный самим Брауном):

0 9 4 6 1 7 5 8 2 3
7 1 9 4 5 3 8 0 6 2
4 6 2 8 3 1 7 5 9 0
6 0 7 3 2 8 4 9 1 5
5 3 6 7 4 2 9 1 0 8
8 4 1 2 9 5 0 6 3 7
2 5 3 0 8 9 6 4 7 1
3 2 8 9 0 4 1 7 5 6
9 7 5 1 6 0 3 2 8 4
1 8 0 5 7 6 2 3 4 9

Квадрат С (это ортогональный соквадрат, найденный О. Заикиным):

0 4 7 2 8 9 1 3 5 6
4 1 6 7 0 2 3 5 9 8
6 5 2 8 9 0 7 4 1 3
2 9 5 3 7 4 0 8 6 1
7 6 9 5 4 3 8 1 0 2
8 0 1 6 2 5 4 9 3 7
9 8 3 1 5 7 6 0 2 4
1 2 8 9 3 6 5 7 4 0
3 7 4 0 6 1 9 2 8 5
5 3 0 4 1 8 2 6 7 9

Как я уже сообщала, квадраты B и C имеют одинаковую КФ, следовательно, они изоморфны.
Вы подтвердили изоморфность (эквивалентность) этих двух ДЛК.
[Хотя тут для меня осталось непонятным, каким преобразованием один из этих квадратов переводится в другой.]
whitefox писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
Получается, что эти два ДЛК изоморфны.
Проверил, они изоморфны.

Nataly-Mak писал(а):
Не могу сообразить, в каком классе изоморфизма они находятся.

Какой изоморфизм переводит один квадрат в другой? Можно внести в программу дополнение, чтобы она выдавала изоморфизм переводящий исходный квадрат в каноническую форму. Тогда произведение такого изоморфизма для одного квадрата и обратного изоморфизма для другого квадрата и даст искомый изоморфизм.

Вопрос первый: сколько ортогональных соквадратов имеет квадрат В?
Мой ответ – он имеет один ортогональный соквадрат, это квадрат А.

Вопрос второй: сколько ортогональных соквадратов имеет каждый изоморф квадрата В?
По вашей теории каждый изоморф квадрата В имеет тоже один ортогональный соквадрат, и им будет соответствующий изоморф квадрата А.

Теперь внимание!
А как быть с изоморфом квадрата В, который есть квадрат С?
Ведь этот изоморф имеет два ортогональных соквадрата – квадрат А и (по вашей теории) изоморф квадрата А.

Не сходится!
Пожалуйста, скажите, где в моих рассуждениях ошибка.

Автор:  whitefox [ 03 мар 2016, 11:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Nataly-Mak писал(а):
Теперь внимание!
А как быть с изоморфом квадрата В, который есть квадрат С?
Ведь этот изоморф имеет два ортогональных соквадрата – квадрат А и (по вашей теории) изоморф квадрата А.

Не сходится!
Пожалуйста, скажите, где в моих рассуждениях ошибка.

Квадрат C имеет только один ортогональный соквадрат – квадрат A. Изоморф же квадрата A ортогонален вовсе не квадрату C, а соответствующему изоморфу квадрата C.

Повторю, приведённое ранее рассуждение, но уже без формул.
Рассмотрим квадрат A и все его соквадраты – B, C, D, E. Применим ко всем этим квадратам один и тот же изоморфизм, получим квадраты A', B', C', D', E'.

Согласно утверждению, названому вами тривиальным, квадраты B', C', D', E' будут ортогональны квадрату A'.

Допустим, что квадрат A' имеет как минимум ещё один ортогональный соквадрат – F, отличный от квадратов B', C', D', E'. Применим к квадрату F обратный изоморфизм, переводящий квадрат A' в A. Пусть этот изоморфизм переводит F в F".

Согласно, всё тому же, утверждению, квадраты A и F" ортогональны.

А так как всякий изоморфизм является взаимно однозначным отображением (биекцией), то квадраты B, C, D, E, F" будут различны, то есть квадрат A имеет как минимум пять различных сокадратов, что не верно.

Следовательно наше предположение о наличии у квадрата A' ортогональных соквадратов, отличных от B', C', D', E', неверно.

Автор:  Nataly-Mak [ 03 мар 2016, 11:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
Теперь внимание!
А как быть с изоморфом квадрата В, который есть квадрат С?
Ведь этот изоморф имеет два ортогональных соквадрата – квадрат А и (по вашей теории) изоморф квадрата А.

Не сходится!
Пожалуйста, скажите, где в моих рассуждениях ошибка.

Квадрат C имеет только один ортогональный соквадрат – квадрат A. Изоморф же квадрата A ортогонален вовсе не квадрату C, а соответствующему изоморфу квадрата C.

Дальше не читала, извините (боюсь запутаться до конца).

Ещё раз, пожалуйста, отвечайте по пунктам.

1. Квадрат A имеет два ортогональных соквадрата: В и С, причём эти квадраты изоморфны.
С этим согласны?

2. Теперь смотрим на квадрат В.
Он имеет один ортогональный соквадрат А.
Правильно?
(Если квадрат А ортогонален квадрату В, то квадрат В ортогонален квадрату А).

3. Теперь спрашиваю: сколько ортогональных соквадратов имеет каждый изоморф квадрата В?
По вашей теории каждый изоморф квадрата В имеет тоже ровно один ортогональный соквадрат и им будет соответствующий изоморф квадрата А.
Это правильно?

4. Ну, наконец, о квадрате С. Он является, как мы установили, изоморфом квадрата В.
Следовательно, он, согласно пункту 3, имеет только один ортогональный соквадрат, и им будет соответствующий изоморф квадрата А.
Так?

Но! Квадрату С ведь ещё ортогонален и исходный квадрат А (не его изоморф! а квадрат А в исходной форме).
(Если квадрат А ортогонален квадрату С, то квадрат С ортогонален квадрату А.)
Получается, что у квадрата С (изоморфа квадрата В) есть два ортогональных соквадрата, что противоречит пункту 3.

Ещё раз прошу отвечать конкретно на каждый пункт.

Автор:  Nataly-Mak [ 03 мар 2016, 11:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Проверила ещё раз канонические формы квадратов В и С, они одинаковые, для обоих квадратов такая КФ:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 7 9 8 5 6
4 5 3 9 0 2 8 6 7 1
5 7 8 1 9 6 3 4 2 0
8 6 9 2 5 0 4 1 3 7
7 3 4 6 1 8 0 2 9 5
3 0 1 8 6 9 7 5 4 2
6 8 7 5 2 4 1 9 0 3
9 4 5 0 7 1 2 3 6 8
2 9 6 7 8 3 5 0 1 4

Значит, квадраты В и С изоморфны.

Автор:  whitefox [ 03 мар 2016, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Пункты 1 ... 3 так.
Nataly-Mak писал(а):
4. Ну, наконец, о квадрате С. Он является, как мы установили, изоморфом квадрата В.
Следовательно, он, согласно пункту 3, имеет только один ортогональный соквадрат, и им будет соответствующий изоморф квадрата А.
Так?

Нет, не так. А так:
"Следовательно, он, согласно пункту 3, имеет только один ортогональный соквадрат, и им будет квадрат А".

Nataly-Mak писал(а):
Получается, что у квадрата С (изоморфа квадрата В) есть два ортогональных соквадрата, что противоречит пункту 3.

Ещё раз прошу отвечать конкретно на каждый пункт.

Ещё раз прошу перечитать мой предыдущий пост, и, настоятельно рекомендую, полностью.

Автор:  whitefox [ 03 мар 2016, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Квадраты A и B не изоморфны, а B и C изоморфны. Потому нет ничего странного в том, что изоморфизм переводящий B в C переводит A в A.

Автор:  Nataly-Mak [ 03 мар 2016, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox писал(а):
Пункты 1 ... 3 так.
Nataly-Mak писал(а):
4. Ну, наконец, о квадрате С. Он является, как мы установили, изоморфом квадрата В.
Следовательно, он, согласно пункту 3, имеет только один ортогональный соквадрат, и им будет соответствующий изоморф квадрата А.
Так?

Нет, не так. А так:
"Следовательно, он, согласно пункту 3, имеет только один ортогональный соквадрат, и им будет квадрат А".

Однако... вы противоречите сами себе!

Квадрат С изоморф квадрата В, следовательно (как вы утверждали раньше) он имеет точно один изоморф и им будет соответствующий изоморф квадрата А.

А ортогонален В
В ортогонален А
каждый изоморф В ортогорнален соответствующему изоморфу А -->
С (как изоморф B) ортогонален соответствующему изоморфу А.

Но теперь вы говорите, что изоморф квадрата В (квадрат С) будет иметь только один соквадрат, и им будет квадрат А (а не соответствующий изоморф квадрата А). То есть в изоморфе элементы переставили, а в ортогональном квадрате все элементы остались на месте. А ортогональность сохранилась. Это интересно!

Повернём квадрат В на 90 градусов, это будет его изоморф. Вы утверждаете, что ортогональным к нему будет квадрат А. Я в этом сильно сомневаюсь! Орогональным к нему будет изоморф квадрата А, полученный таким же поворотом на 90 градусов.
Преобразование (изоморфизм) надо применить к обоим квадратам ортогональной пары, а не к одному. Тогда оргональность сохранится.

Я вам тоже настоятельно рекомендую ещё раз внимательно прочитать этот мой пост и предыдущий, желательно до конца.
Вы не нашли ошибку в моих рассуждениях, но они приводят к противоречию.

На этом закрываю (для себя) дискуссию по данному вопросу.
Спасибо за ответы.

Автор:  whitefox [ 03 мар 2016, 12:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Если бы последовали рекомендации, то никаких бы "противоречий" не увидели бы.
А на якобы "противоречие" ответ уже дан:
whitefox писал(а):
Квадраты A и B не изоморфны, а B и C изоморфны. Потому нет ничего странного в том, что изоморфизм переводящий B в C переводит A в A.

Автор:  Nataly-Mak [ 03 мар 2016, 12:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox писал(а):
А на якобы "противоречие" ответ уже дан:
whitefox писал(а):
Квадраты A и B не изоморфны, а B и C изоморфны. Потому нет ничего странного в том, что изоморфизм переводящий B в C переводит A в A.

(Я увидела этот пост после того, как отправила свой.)
А не могли бы вы показать этот изоморфизм, переводящий В в С?
Я его пока не смогла увидеть. Как уже писала, переобозначение элементов не проходит. Остаются М-преобразования.

Вы хотите сказать, что изморфизм, переводящий квадрат В в квадрат С, является автоморфизмом для квадрата А (так это вроде называется? ну то есть этот изоморфизм переводит квадрат А в самого себя).

Ну так вот с этого и надо было начинать. Тогда противоречия не будет.
Осталось показать изоморфизм, переводящий В в С и убедиться в том, что этот изоморфизм переводит квадрат А в самого себя.

Автор:  whitefox [ 03 мар 2016, 12:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Nataly-Mak писал(а):
Ну так вот с этого и надо было начинать. Тогда противоречия не будет.
Извините, конечно вы правы, начать нужно было с этого. Но я, самонадеянно, посчитал этот факт очевидным. В чём каюсь. :pardon:

Страница 68 из 421 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/