Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=46638
Страница 63 из 421

Автор:  whitefox [ 02 мар 2016, 08:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Вау, сколько вопросов :) Извините, если отвечу не на все.

Nataly-Mak писал(а):
Итак, имеем три класса ДЛК. Сколько их будет всего?
Боюсь, что чертовски много. Согласно A003090 имеется [math]34\ 817\ 397\ 894\ 749\ 939[/math] классов изоморфизма (главных классов) ЛК. Не знаю, всякий ли класс изоморфизма ЛК содержит хотя бы один класс изоморфизма ДЛК, но пример с ДЛК Брауна и браун (ДЛК а ля Браун) Заикина показывает, что в одном классе изоморфизма ЛК может быть несколько классов изоморфизма ДЛК. Так как эти квадраты, как ЛК, изоморфны, а потому принадлежат одному классу изоморфизма ЛК. Но как ДЛК они не изоморфны, и, следовательно, принадлежат разным классам изоморфизма ДЛК. В худшем случае, каждый класс изоморфизма ЛК содержит несколько классов изоморфизма ДЛК.

Nataly-Mak писал(а):
Теперь такой вопрос: 15360 изоморфов основного ДЛК Брауна надо проверить на ортогональные ДЛК?
Если сам ДЛК Брауна в первозданном виде имеет 4 ортогональных соквадрата, его изоморфы в классе М-преобразований могут иметь и другое количество ортогональных соквадратов? Правильно?
Ведь М-преобразования влияют на ортогональность.
Если к паре ДЛК применить один и тот же изоморфизм, то отношение ортогональности между ними сохранится (в частности, сохранится характеристика ортогональности). То есть если они были ортогональными, то ортогональными и останутся, а если не ортогональными, то так и останутся не ортогональными, но с той же характеристикой ортогональности.

Поэтому каждый изоморф ДЛК Брауна будет иметь по четыре ортогональных соквадрата (изоморфных исходным).

М-преобразования (а также отражения) могут повлиять на отношение ортогональности (в частности, на характеристику ортогональности) если они применяются только к одному квадрату пары.

Nataly-Mak писал(а):
Сам ДЛК Гергели не имеет ни одного ортогонального ДЛК. А его изоморфы в классе М-преобразований?
Тоже не будут иметь ортогональных соквадратов. По причине, отмеченной выше.

Давайте определимся с терминологией. В классы изоморфизма объединяются ДЛК, а М-преобразования составляют группу. Причем нас интересует группа изоморфизмов, влияющих на ортогональность, а в неё, помимо М-преобразований (коих 3840), входят ещё отражения (и повороты как произведения пары отражений) и их произведения с М-преобразованиями, всего 15360 изоморфизмов. Надо бы придумать этой группе имя.

Nataly-Mak писал(а):
Надо проверить их все по вашей программе.
Вы можете сделать программу так, чтобы она проверяла не по одному квадратику, а сразу все введённые?
Вы хотите прямо в текст программы записывать несколько ДЛК? Как понимаю, в онлайн-компиляторе ввод из файла не предусмотрен. Но его легко прикрутить. Исходник выложен, ограничений на его использование я не устанавливал. Любой желающий может его модифицировать. Думаю это произойдёт скорее, чем я доберусь до нормального компилятора.

Nataly-Mak писал(а):
Получается, что эти два ДЛК изоморфны.
Проверил, они изоморфны.

Nataly-Mak писал(а):
Не могу сообразить, в каком классе изоморфизма они находятся.
Какой изоморфизм переводит один квадрат в другой? Можно внести в программу дополнение, чтобы она выдавала изоморфизм переводящий исходный квадрат в каноническую форму. Тогда произведение такого изоморфизма для одного квадрата и обратного изоморфизма для другого квадрата и даст искомый изоморфизм.

Может кто сделает? Мне недосуг.

Автор:  Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 09:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox
не всё поняла. Буду задавать вопросы по одному, так оно будет понятнее. Один вопрос - один ответ.
Итак, про изомрфоные ДЛК и их ортогональные ДЛК.

Как я поняла, вы проверили ДЛК О. Заикина и он действительно изоморфен ДЛК №1 из группы квадратов Брауна.
Имеем:
есть основной ДЛК Брауна №2 (с несколькими ортогональными ДЛК). Вот этот ДЛК имеет два ортогональных ДЛК различных (№1 и №3) плюс ещё два ортогональных ДЛК изоморфным первым двум (соответственно, парами).

Таким образом, у ДЛК №2 Брауна получилась ортогональность с двумя парами изоморфных ДЛК.
Правильные рассуждения?

Вот в одну сторону вроде понятно и есть конкретный пример: одному и тому же ДЛК Брауна оказались ортогональны два изоморфных ДЛК плюс ещё два изоморфных ДЛК.
А в другую сторону никак не доходит. Почему изоморфы основного ДЛК Брауна (15360 вариантов) все обязаны иметь по 4 ортогональных соквадрата?
Расписываю, как я поняла:
вы хотите сказать, что если мы применим к основному ДЛК №2 Брауна какое-то преобразование, влияющее на ортогональность, это никак не повлияет на количество ортогональных ДЛК полученного изоморфа?
Я правильно понимаю?
И даже более того: этот новый изоморф (по вашим рассуждениям) будет иметь 4 ортогональных соквадрата, которые получаются из известных 4 соквадратов тем же самым преобразованием.

Ну, к примеру для поворота основного ДЛК, скажем, на 90 градусов, похоже, всё так и будет. Поворачиваем все известные 4 ортогональных соквадрата таким же образом, и все они окажутся ортогональными повёрнутому исходному ДЛК.
Ну а М-преобразования? Неужели они тоже ничего не изменят? При таких преобразованиях же числа в ячейках квадрата сильно изменяются.
Никак не могу сообразить, почему это тоже ничего не изменит в отношении ортогональных соквадратов новых изоморфов :( Почему их не может оказаться 5 или 6?

И вопрос попутный: не отрбросил ли Браун изоморфные соквадраты?
Странно, что у него два ортогональных соквадрата, а не 4.
Может, в статье Брауна что-то написано об этом?
Пожалуйста, посмотрите, кто читает по-английски.

Автор:  Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 09:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox писал(а):
Давайте определимся с терминологией. В классы изоморфизма объединяются ДЛК, а М-преобразования составляют группу. Причем нас интересует группа изоморфизмов, влияющих на ортогональность, а в неё, помимо М-преобразований (коих 3840), входят ещё отражения (и повороты как произведения пары отражений) и их произведения с М-преобразованиями, всего 15360 изоморфизмов. Надо бы придумать этой группе имя.

"...классы изоморфизма...", "...группа изоморфизмов..."
Ничего не понимаю, сплошная каша в голове :(

Вот нашла какой-то ресурс, может, плохой, не знаю

http://ru.knowledgr.com/00009516/%D0%9A ... 0%BC%D0%B0

Цитата:
Класс изоморфизма - коллекция математических объектов, изоморфных друг другу.

Это вроде понятно.Тогда что такое "группа изоморфизмов"?

Далее, наши математические объекты, то бишь ДЛК, могут быть изоморфны по разным преобразованиям (основные преобразования, М-преобразования, переобозначение элементов).
В один класс изоморфизма объединяются все ДЛК, изоморфные по всем преобразованиям?

Автор:  citerra [ 02 мар 2016, 09:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

svb писал(а):
Сегодня еще было сообщение. Несколько часов искал ошибку в своей программе, но сейчас увидел, что там не латинский квадрат.

Извините. Прямо по пословице про соломинку и бревно. Надо мне писать программу, а не полагаться на внимательность, сейчас многое делаю вручную. И к тому же начал с проверки диагоналей.

Автор:  whitefox [ 02 мар 2016, 09:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Nataly-Mak писал(а):
Правильные рассуждения?
Да.

Nataly-Mak писал(а):
Почему изоморфы основного ДЛК Брауна (15360 вариантов) все обязаны иметь по 4 ортогональных соквадрата?
. . .
Ну а М-преобразования? Неужели они тоже ничего не изменят? При таких преобразованиях же числа в ячейках квадрата сильно изменяются.
Никак не могу сообразить, почему это тоже ничего не изменит в отношении ортогональных соквадратов новых изоморфов
Составим из ДЛК Брауна и ортогонального ему соквадрата греко-латинский квадрат. В клетках этого квадрата буду без повтора записаны все пары от 00 до 99. Применим теперь к этому квадрату любой из 15360 изоморфизмов. Этот изоморфизм изменит только расположение клеток, но ни в одной клетке её значение не изменится. Тоже самое справедливо и для пары произвольных ДЛК, не обязательно ортогональных. Любой изоморфизм из 15360 только переставляет клетки соответствующего греко-латинского квадрата, но не меняет значение самих клеток. Поэтому при одновременном изоморфизме пары ДЛК их характеристика ортогональности не меняется, а потому не меняется и отношение ортогональности (которому соответствует значение характеристики ортогональности 100).

Nataly-Mak писал(а):
вы хотите сказать, что если мы применим к основному ДЛК №2 Брауна какое-то преобразование, влияющее на ортогональность, это никак не повлияет на количество ортогональных ДЛК полученного изоморфа?
Я правильно понимаю?
И даже более того: этот новый изоморф . . . будет иметь 4 ортогональных соквадрата, которые получаются из известных 4 соквадратов тем же самым преобразованием.
Вы поняли совершенно правильно.

Автор:  Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 10:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

whitefox писал(а):
Составим из ДЛК Брауна и ортогонального ему соквадрата греко-латинский квадрат. В клетках этого квадрата буду без повтора записаны все пары от 00 до 99.

Вы уже начинаете рассуждения от готовой пары ОДЛК.
Ну нет у нас готовых пар, а есть только исходный ДЛК. Мы его преобразовываем, только его, ортогональных соквадратов нет у нас пока. А потом начинаем искать к новому варианту ДЛК ортогональные соквадраты.

Цитата:
Применим теперь к этому квадрату любой из 15360 изоморфизмов. Этот изоморфизм изменит только расположение клеток, но ни в одной клетке её значение не изменится.

А я почему-то всегда думала, что при М-преобразованиях (равно как и при других преобразованиях) переставляюся элементы в ячейках квадрата, а не ячейки. То есть, конечно, можно и ячейки переставить, но вместе с элементами, в них расположенными. А я всегда переставляю элементы, а ячейки как были нарисованы в квадрате, так и остаются на свои местах.
Например: переставим в квадрате первую и последнюю строки. Значит, все элементы из первой строки пойдут в последнюю строку, а все элементы из последней строки пойдут в первую строку.
Цитата:
Вы поняли совершенно правильно.

Да ничего я не поняла :(
Не осилила, значит. Ладно, оставим это пока. Может, позже дойдёт.

Автор:  whitefox [ 02 мар 2016, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Nataly-Mak писал(а):
Это вроде понятно.Тогда что такое "группа изоморфизмов"?

Далее, наши математические объекты, то бишь ДЛК, могут быть изоморфны по разным преобразованиям (основные преобразования, М-преобразования, переобозначение элементов).
В один класс изоморфизма объединяются все ДЛК, изоморфные по всем преобразованиям?

Имхо, более правильное определение изоморфизма:
Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны две алгебраические структуры (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Обратимое отображение (биекция) между ними называется изоморфизмом, если оно сохраняет эту структуру. Если между такими структурами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.


В нашем конкретном случае изоморфизм это обратимое отображение между ДЛК, сохраняющее структуру ДЛК ("латинскость" и "диагональность"). Все такие отображения составляют группу (в алгебраическом смысле, а не в смысле некой совокупности). Все изоморфные ДЛК считаются эквивалентными, и потому составляют некоторый класс эквивалентности, который и называется классом изоморфизма.

Автор:  svb [ 02 мар 2016, 10:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 3 4 1 8 5 6 9 7
1 4 0 2 3 6 7 9 5 8
4 3 8 0 2 7 9 1 6 5
3 2 5 8 0 9 1 4 7 6
6 7 4 1 9 0 8 5 2 3
5 6 1 9 7 2 0 8 3 4
8 5 9 7 6 3 2 0 4 1
7 9 6 5 8 1 4 3 0 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Любой ортогональный квадрат к подобным латинским квадратам будет диагональным, т.е. их очень много получить. Осталось найти среди них пару ортогональных между собой :)

Автор:  whitefox [ 02 мар 2016, 10:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Nataly-Mak писал(а):
Вы уже начинаете рассуждения от готовой пары ОДЛК.
Это вы начали от готовой пары ОДЛК Брауна. :)
А я от произвольной пары ДЛК, не обязательно ортогональной. И их характеристики ортогональности, которая не меняется при одновременном изоморфизме.

Nataly-Mak писал(а):
А я почему-то всегда думала, что при М-преобразованиях (равно как и при других преобразованиях) переставляюся элементы в ячейках квадрата, а не ячейки. То есть, конечно, можно и ячейки переставить, но вместе с элементами, в них расположенными. А я всегда переставляю элементы, а ячейки как были нарисованы в квадрате, так и остаются на свои местах.
Можно и так. Суть от этого не меняется.

Nataly-Mak писал(а):
Например: переставим в квадрате первую и последнюю строки. Значит, все элементы из первой строки пойдут в последнюю строку, а все элементы из последней строки пойдут в первую строку.
Именно об этом я и говорю – элементы греко-латинского квадрата переставляются, но их значения при этом не изменяются.

Автор:  Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 10:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

Да читала я это в Википедии. Ну не понимаю всякие научные определения :(
"Пусть даны две алгебраические структуры..."
Какие такие две алгебраические структуры у нас даны?
У нас есть одно целое множество различных ДЛК. Где две алгебраические структуры?
В общем... вопрос закрываю. Тупая, не доросла ещё до вяских научных определений.

Преобразования ДЛК понимаю, что они (ДЛК) будут изоморфны (или эквивалентны) по этим преобразованиям - это тоже понимаю. Всё остальное - не понимаю.

Страница 63 из 421 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/