| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=46638 |
Страница 63 из 421 |
| Автор: | whitefox [ 02 мар 2016, 08:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
Вау, сколько вопросов Извините, если отвечу не на все.Nataly-Mak писал(а): Итак, имеем три класса ДЛК. Сколько их будет всего? Боюсь, что чертовски много. Согласно A003090 имеется [math]34\ 817\ 397\ 894\ 749\ 939[/math] классов изоморфизма (главных классов) ЛК. Не знаю, всякий ли класс изоморфизма ЛК содержит хотя бы один класс изоморфизма ДЛК, но пример с ДЛК Брауна и браун (ДЛК а ля Браун) Заикина показывает, что в одном классе изоморфизма ЛК может быть несколько классов изоморфизма ДЛК. Так как эти квадраты, как ЛК, изоморфны, а потому принадлежат одному классу изоморфизма ЛК. Но как ДЛК они не изоморфны, и, следовательно, принадлежат разным классам изоморфизма ДЛК. В худшем случае, каждый класс изоморфизма ЛК содержит несколько классов изоморфизма ДЛК.Nataly-Mak писал(а): Теперь такой вопрос: 15360 изоморфов основного ДЛК Брауна надо проверить на ортогональные ДЛК? Если к паре ДЛК применить один и тот же изоморфизм, то отношение ортогональности между ними сохранится (в частности, сохранится характеристика ортогональности). То есть если они были ортогональными, то ортогональными и останутся, а если не ортогональными, то так и останутся не ортогональными, но с той же характеристикой ортогональности.Если сам ДЛК Брауна в первозданном виде имеет 4 ортогональных соквадрата, его изоморфы в классе М-преобразований могут иметь и другое количество ортогональных соквадратов? Правильно? Ведь М-преобразования влияют на ортогональность. Поэтому каждый изоморф ДЛК Брауна будет иметь по четыре ортогональных соквадрата (изоморфных исходным). М-преобразования (а также отражения) могут повлиять на отношение ортогональности (в частности, на характеристику ортогональности) если они применяются только к одному квадрату пары. Nataly-Mak писал(а): Сам ДЛК Гергели не имеет ни одного ортогонального ДЛК. А его изоморфы в классе М-преобразований? Тоже не будут иметь ортогональных соквадратов. По причине, отмеченной выше.Давайте определимся с терминологией. В классы изоморфизма объединяются ДЛК, а М-преобразования составляют группу. Причем нас интересует группа изоморфизмов, влияющих на ортогональность, а в неё, помимо М-преобразований (коих 3840), входят ещё отражения (и повороты как произведения пары отражений) и их произведения с М-преобразованиями, всего 15360 изоморфизмов. Надо бы придумать этой группе имя. Nataly-Mak писал(а): Надо проверить их все по вашей программе. Вы хотите прямо в текст программы записывать несколько ДЛК? Как понимаю, в онлайн-компиляторе ввод из файла не предусмотрен. Но его легко прикрутить. Исходник выложен, ограничений на его использование я не устанавливал. Любой желающий может его модифицировать. Думаю это произойдёт скорее, чем я доберусь до нормального компилятора.Вы можете сделать программу так, чтобы она проверяла не по одному квадратику, а сразу все введённые? Nataly-Mak писал(а): Получается, что эти два ДЛК изоморфны. Проверил, они изоморфны.Nataly-Mak писал(а): Не могу сообразить, в каком классе изоморфизма они находятся. Какой изоморфизм переводит один квадрат в другой? Можно внести в программу дополнение, чтобы она выдавала изоморфизм переводящий исходный квадрат в каноническую форму. Тогда произведение такого изоморфизма для одного квадрата и обратного изоморфизма для другого квадрата и даст искомый изоморфизм.Может кто сделает? Мне недосуг. |
|
| Автор: | Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 09:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
whitefox не всё поняла. Буду задавать вопросы по одному, так оно будет понятнее. Один вопрос - один ответ. Итак, про изомрфоные ДЛК и их ортогональные ДЛК. Как я поняла, вы проверили ДЛК О. Заикина и он действительно изоморфен ДЛК №1 из группы квадратов Брауна. Имеем: есть основной ДЛК Брауна №2 (с несколькими ортогональными ДЛК). Вот этот ДЛК имеет два ортогональных ДЛК различных (№1 и №3) плюс ещё два ортогональных ДЛК изоморфным первым двум (соответственно, парами). Таким образом, у ДЛК №2 Брауна получилась ортогональность с двумя парами изоморфных ДЛК. Правильные рассуждения? Вот в одну сторону вроде понятно и есть конкретный пример: одному и тому же ДЛК Брауна оказались ортогональны два изоморфных ДЛК плюс ещё два изоморфных ДЛК. А в другую сторону никак не доходит. Почему изоморфы основного ДЛК Брауна (15360 вариантов) все обязаны иметь по 4 ортогональных соквадрата? Расписываю, как я поняла: вы хотите сказать, что если мы применим к основному ДЛК №2 Брауна какое-то преобразование, влияющее на ортогональность, это никак не повлияет на количество ортогональных ДЛК полученного изоморфа? Я правильно понимаю? И даже более того: этот новый изоморф (по вашим рассуждениям) будет иметь 4 ортогональных соквадрата, которые получаются из известных 4 соквадратов тем же самым преобразованием. Ну, к примеру для поворота основного ДЛК, скажем, на 90 градусов, похоже, всё так и будет. Поворачиваем все известные 4 ортогональных соквадрата таким же образом, и все они окажутся ортогональными повёрнутому исходному ДЛК. Ну а М-преобразования? Неужели они тоже ничего не изменят? При таких преобразованиях же числа в ячейках квадрата сильно изменяются. Никак не могу сообразить, почему это тоже ничего не изменит в отношении ортогональных соквадратов новых изоморфов Почему их не может оказаться 5 или 6?И вопрос попутный: не отрбросил ли Браун изоморфные соквадраты? Странно, что у него два ортогональных соквадрата, а не 4. Может, в статье Брауна что-то написано об этом? Пожалуйста, посмотрите, кто читает по-английски. |
|
| Автор: | Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 09:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
whitefox писал(а): Давайте определимся с терминологией. В классы изоморфизма объединяются ДЛК, а М-преобразования составляют группу. Причем нас интересует группа изоморфизмов, влияющих на ортогональность, а в неё, помимо М-преобразований (коих 3840), входят ещё отражения (и повороты как произведения пары отражений) и их произведения с М-преобразованиями, всего 15360 изоморфизмов. Надо бы придумать этой группе имя. "...классы изоморфизма...", "...группа изоморфизмов..." Ничего не понимаю, сплошная каша в голове Вот нашла какой-то ресурс, может, плохой, не знаю http://ru.knowledgr.com/00009516/%D0%9A ... 0%BC%D0%B0 Цитата: Класс изоморфизма - коллекция математических объектов, изоморфных друг другу. Это вроде понятно.Тогда что такое "группа изоморфизмов"? Далее, наши математические объекты, то бишь ДЛК, могут быть изоморфны по разным преобразованиям (основные преобразования, М-преобразования, переобозначение элементов). В один класс изоморфизма объединяются все ДЛК, изоморфные по всем преобразованиям? |
|
| Автор: | citerra [ 02 мар 2016, 09:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
svb писал(а): Сегодня еще было сообщение. Несколько часов искал ошибку в своей программе, но сейчас увидел, что там не латинский квадрат. Извините. Прямо по пословице про соломинку и бревно. Надо мне писать программу, а не полагаться на внимательность, сейчас многое делаю вручную. И к тому же начал с проверки диагоналей. |
|
| Автор: | whitefox [ 02 мар 2016, 09:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
Nataly-Mak писал(а): Правильные рассуждения? Да.Nataly-Mak писал(а): Почему изоморфы основного ДЛК Брауна (15360 вариантов) все обязаны иметь по 4 ортогональных соквадрата? Составим из ДЛК Брауна и ортогонального ему соквадрата греко-латинский квадрат. В клетках этого квадрата буду без повтора записаны все пары от 00 до 99. Применим теперь к этому квадрату любой из 15360 изоморфизмов. Этот изоморфизм изменит только расположение клеток, но ни в одной клетке её значение не изменится. Тоже самое справедливо и для пары произвольных ДЛК, не обязательно ортогональных. Любой изоморфизм из 15360 только переставляет клетки соответствующего греко-латинского квадрата, но не меняет значение самих клеток. Поэтому при одновременном изоморфизме пары ДЛК их характеристика ортогональности не меняется, а потому не меняется и отношение ортогональности (которому соответствует значение характеристики ортогональности 100).. . . Ну а М-преобразования? Неужели они тоже ничего не изменят? При таких преобразованиях же числа в ячейках квадрата сильно изменяются. Никак не могу сообразить, почему это тоже ничего не изменит в отношении ортогональных соквадратов новых изоморфов Nataly-Mak писал(а): вы хотите сказать, что если мы применим к основному ДЛК №2 Брауна какое-то преобразование, влияющее на ортогональность, это никак не повлияет на количество ортогональных ДЛК полученного изоморфа? Вы поняли совершенно правильно.
Я правильно понимаю? И даже более того: этот новый изоморф . . . будет иметь 4 ортогональных соквадрата, которые получаются из известных 4 соквадратов тем же самым преобразованием. |
|
| Автор: | Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 10:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
whitefox писал(а): Составим из ДЛК Брауна и ортогонального ему соквадрата греко-латинский квадрат. В клетках этого квадрата буду без повтора записаны все пары от 00 до 99. Вы уже начинаете рассуждения от готовой пары ОДЛК. Ну нет у нас готовых пар, а есть только исходный ДЛК. Мы его преобразовываем, только его, ортогональных соквадратов нет у нас пока. А потом начинаем искать к новому варианту ДЛК ортогональные соквадраты. Цитата: Применим теперь к этому квадрату любой из 15360 изоморфизмов. Этот изоморфизм изменит только расположение клеток, но ни в одной клетке её значение не изменится. А я почему-то всегда думала, что при М-преобразованиях (равно как и при других преобразованиях) переставляюся элементы в ячейках квадрата, а не ячейки. То есть, конечно, можно и ячейки переставить, но вместе с элементами, в них расположенными. А я всегда переставляю элементы, а ячейки как были нарисованы в квадрате, так и остаются на свои местах. Например: переставим в квадрате первую и последнюю строки. Значит, все элементы из первой строки пойдут в последнюю строку, а все элементы из последней строки пойдут в первую строку. Цитата: Вы поняли совершенно правильно. Да ничего я не поняла Не осилила, значит. Ладно, оставим это пока. Может, позже дойдёт. |
|
| Автор: | whitefox [ 02 мар 2016, 10:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
Nataly-Mak писал(а): Это вроде понятно.Тогда что такое "группа изоморфизмов"? Далее, наши математические объекты, то бишь ДЛК, могут быть изоморфны по разным преобразованиям (основные преобразования, М-преобразования, переобозначение элементов). В один класс изоморфизма объединяются все ДЛК, изоморфные по всем преобразованиям? Имхо, более правильное определение изоморфизма: В нашем конкретном случае изоморфизм это обратимое отображение между ДЛК, сохраняющее структуру ДЛК ("латинскость" и "диагональность"). Все такие отображения составляют группу (в алгебраическом смысле, а не в смысле некой совокупности). Все изоморфные ДЛК считаются эквивалентными, и потому составляют некоторый класс эквивалентности, который и называется классом изоморфизма. |
|
| Автор: | svb [ 02 мар 2016, 10:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Любой ортогональный квадрат к подобным латинским квадратам будет диагональным, т.е. их очень много получить. Осталось найти среди них пару ортогональных между собой
|
|
| Автор: | whitefox [ 02 мар 2016, 10:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
Nataly-Mak писал(а): Вы уже начинаете рассуждения от готовой пары ОДЛК. Это вы начали от готовой пары ОДЛК Брауна. А я от произвольной пары ДЛК, не обязательно ортогональной. И их характеристики ортогональности, которая не меняется при одновременном изоморфизме. Nataly-Mak писал(а): А я почему-то всегда думала, что при М-преобразованиях (равно как и при других преобразованиях) переставляюся элементы в ячейках квадрата, а не ячейки. То есть, конечно, можно и ячейки переставить, но вместе с элементами, в них расположенными. А я всегда переставляю элементы, а ячейки как были нарисованы в квадрате, так и остаются на свои местах. Можно и так. Суть от этого не меняется.Nataly-Mak писал(а): Например: переставим в квадрате первую и последнюю строки. Значит, все элементы из первой строки пойдут в последнюю строку, а все элементы из последней строки пойдут в первую строку. Именно об этом я и говорю – элементы греко-латинского квадрата переставляются, но их значения при этом не изменяются.
|
|
| Автор: | Nataly-Mak [ 02 мар 2016, 10:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка |
Да читала я это в Википедии. Ну не понимаю всякие научные определения "Пусть даны две алгебраические структуры..." Какие такие две алгебраические структуры у нас даны? У нас есть одно целое множество различных ДЛК. Где две алгебраические структуры? В общем... вопрос закрываю. Тупая, не доросла ещё до вяских научных определений. Преобразования ДЛК понимаю, что они (ДЛК) будут изоморфны (или эквивалентны) по этим преобразованиям - это тоже понимаю. Всё остальное - не понимаю. |
|
| Страница 63 из 421 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|