Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 4210 ]  На страницу Пред.  1 ... 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367 ... 421  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 19:55 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
От помощника решения приехали :)
Эксперимент #1 (вторая и третья части) выдал 4 уникальные однушки :good:
Надо ли говорить, что все 8 КФ этих однушек в ядре БД!
Показываю их:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 5 9 7 8
3 4 7 6 9 2 8 0 5 1
4 9 6 8 1 7 2 5 0 3
9 7 8 2 5 3 4 1 6 0
5 3 1 0 6 9 7 8 4 2
6 8 5 1 0 4 3 2 9 7
2 0 4 7 8 1 9 6 3 5
7 5 3 9 2 8 0 4 1 6
8 6 9 5 7 0 1 3 2 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 9 8 5 7
2 7 8 6 9 1 3 0 4 5
8 6 5 9 2 7 1 4 3 0
4 3 6 0 5 8 2 9 7 1
7 5 1 8 6 4 0 2 9 3
5 8 9 2 0 3 7 1 6 4
6 9 7 5 1 2 4 3 0 8
9 4 3 7 8 0 5 6 1 2
3 0 4 1 7 9 8 5 2 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 7 9 8 5 6
3 4 9 8 1 6 5 2 7 0
8 3 7 1 6 9 0 4 2 5
7 0 6 5 8 3 2 1 9 4
2 6 5 0 7 4 1 9 3 8
9 7 8 6 5 1 3 0 4 2
6 9 1 7 2 8 4 5 0 3
5 8 4 9 0 2 7 3 6 1
4 5 3 2 9 0 8 6 1 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 8 7 9 3 6
9 0 3 8 1 7 2 4 6 5
2 8 5 6 3 4 0 1 9 7
8 7 4 5 9 2 3 6 1 0
3 6 7 0 8 1 9 5 4 2
6 4 9 1 7 0 5 3 2 8
5 9 6 7 2 3 4 8 0 1
4 5 1 2 6 9 8 0 7 3
7 3 8 9 0 6 1 2 5 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 6 8 7 9 5 3
7 8 4 1 5 9 2 6 3 0
6 9 5 7 3 2 1 8 0 4
3 6 1 8 9 4 0 5 7 2
8 5 3 2 7 1 9 0 4 6
5 4 6 0 2 3 8 1 9 7
9 7 8 5 0 6 4 3 2 1
4 3 7 9 1 0 5 2 6 8
2 0 9 6 8 7 3 4 1 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 6 7 8 9 4 5 3
8 3 9 4 5 2 1 0 7 6
5 4 6 8 3 7 2 9 1 0
4 9 5 7 1 6 3 8 0 2
7 6 3 2 8 4 0 5 9 1
9 8 7 1 6 0 5 2 3 4
6 5 4 9 0 1 7 3 2 8
2 7 8 0 9 3 4 1 6 5
3 0 1 5 2 9 8 6 4 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 0 6 7 9 4 5 8
9 3 6 5 1 8 7 0 2 4
6 4 7 8 5 0 1 2 9 3
4 8 1 6 9 3 2 5 0 7
7 9 5 4 8 1 0 6 3 2
3 5 9 7 0 2 4 8 1 6
5 7 4 1 2 9 8 3 6 0
8 6 0 2 3 4 5 9 7 1
2 0 8 9 7 6 3 1 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 0 6 8 7 9 5 4
8 3 6 7 1 9 2 0 4 5
6 0 7 5 9 4 1 8 3 2
7 4 5 9 8 6 3 1 2 0
9 5 1 4 3 7 0 2 6 8
3 6 9 8 2 0 4 5 1 7
5 8 4 1 0 2 9 3 7 6
4 7 0 2 5 1 8 6 9 3
2 9 8 6 7 3 5 4 0 1

Итоги: 44410 уникальных КФ в БД не "пустышек" (плюс 4 однушки).
По зёрнышку, по зёрнышку... :roll: курочка сыта.

Сейчас посмотрю, что там выдал эксперимент с "симметричными" ДЛК.


Последний раз редактировалось Nataly-Mak 05 май 2017, 20:17, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 20:15 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отлично сработал и эксперимент с "симметричными" ДЛК - две уникальные двушки!
Изоморфизм не влез в эту ветвь пока.

каждая двушка имеет парную, все вместе дают 8 уникальных КФ:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 6 8 9 3 7
5 9 8 7 0 1 3 2 4 6
4 3 6 5 9 2 7 0 1 8
7 8 3 1 6 0 4 5 9 2
3 5 7 6 1 9 2 8 0 4
2 0 9 8 7 4 1 3 6 5
8 6 5 0 3 7 9 4 2 1
9 4 1 2 8 3 5 6 7 0
6 7 4 9 2 8 0 1 5 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 7 9 3 6 8
5 4 3 9 2 8 1 0 7 6
7 9 5 6 3 0 2 8 4 1
8 5 7 2 9 3 0 6 1 4
2 6 9 8 7 1 4 5 3 0
9 7 6 5 1 4 8 2 0 3
6 0 1 7 8 2 3 4 9 5
3 8 4 0 6 9 7 1 5 2
4 3 8 1 0 6 5 9 2 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 8 7 9 6 3
4 8 5 0 9 6 3 1 7 2
8 7 6 1 0 9 2 3 4 5
2 9 4 7 3 0 8 5 1 6
6 3 1 9 8 7 0 2 5 4
9 6 8 5 1 2 4 0 3 7
5 0 3 8 7 4 9 6 2 1
3 4 7 6 2 1 5 8 9 0
7 5 9 2 6 3 1 4 0 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 0 5 4 9 6 7 8
6 0 4 2 1 8 7 5 9 3
2 6 5 9 8 1 0 4 3 7
9 5 6 1 7 2 8 3 4 0
7 8 0 5 6 3 4 9 1 2
5 7 9 8 3 6 1 0 2 4
3 4 1 7 9 0 2 8 5 6
8 3 7 4 0 9 5 2 6 1
4 9 8 6 2 7 3 1 0 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 6 8 7 9 5 3
4 5 9 6 8 2 3 0 7 1
6 0 3 1 7 9 2 5 4 8
3 9 7 8 5 1 0 2 6 4
5 6 1 0 3 7 8 4 9 2
9 8 5 7 1 6 4 3 2 0
2 3 6 9 0 4 5 8 1 7
7 4 8 2 9 0 1 6 3 5
8 7 4 5 2 3 9 1 0 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 8 9 7 6 3 5
2 4 9 8 3 7 1 5 0 6
5 6 3 7 9 4 8 0 2 1
3 5 8 9 6 0 2 4 1 7
9 0 7 6 2 1 4 3 5 8
8 9 4 1 7 3 5 2 6 0
7 3 6 5 1 2 0 8 9 4
6 7 1 0 5 8 3 9 4 2
4 8 5 2 0 6 9 1 7 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
4 9 6 7 1 8 2 3 0 5
2 5 0 8 6 3 1 9 4 7
7 3 1 9 5 4 0 8 6 2
3 8 9 5 2 7 4 0 1 6
6 4 7 0 8 1 9 2 5 3
9 7 5 1 3 6 8 4 2 0
5 6 8 2 9 0 7 1 3 4
8 0 4 6 7 2 3 5 9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 7 6 8 9 5 0
4 5 8 0 6 3 9 2 7 1
9 8 5 7 1 4 0 6 3 2
5 3 6 1 9 7 2 0 4 8
6 9 0 5 3 1 4 8 2 7
3 0 7 6 8 2 5 1 9 4
2 7 1 8 5 9 3 4 0 6
7 4 9 2 0 8 1 3 6 5
8 6 4 9 2 0 7 5 1 3

Итоги: 44418 уникальных КФ в БД не "пустышек" (плюс 4 двушки).

Хорошие результаты сегодня у помощника - кругом по 2 :) и никакого изоморфизма.

Спасибо!


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 20:22 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 7033
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 1095
Спасибо получено:
548 раз в 508 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak
Может проще установить, что решений нет? У квадратов 10x10 в центре всегда находятся 4 различных числа по условию. Ортогональных квадратов должно быть 3. Цифр различных должно быть 12, а возможных только 10 имхо. )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 20:34 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
ой, пока ничего не поняла :)
Бывает, что у одного ДЛК целых 8 ортогональных соквадратов.
А вы говорите, что только 3 ортогональных соквадрата.

Тут тема-то огромадная, с наскоку решить невозможно. Надо вникать и вникать.
Вы почитайте на досуге с самой первой странички :)
Мы тут уже целую энциклопедию написали по ортогональным ЛК 10-го порядка.
И результаты у нас уникальные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 20:57 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И в завершение хорошей пятницы у меня эксперимент #1 по "симметричным" ДЛК выдал уникальную двушку.
Вот она - уникальная двушка с целины :roll:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 9 5 6 7 8 0 4 2 1
9 0 1 4 8 6 5 3 7 2
1 4 3 2 0 9 7 8 5 6
2 6 9 7 5 4 8 0 1 3
5 3 6 8 1 7 9 2 0 4
7 2 8 5 9 3 4 1 6 0
8 5 0 9 3 1 2 6 4 7
4 8 7 0 6 2 1 9 3 5
6 7 4 1 2 0 3 5 9 8
sq1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 7 5 9 1 2 3 4 0 6
7 2 6 4 3 1 5 8 9 0
3 4 1 2 0 9 7 6 5 8
6 8 9 1 5 4 2 0 3 7
5 9 7 0 2 8 1 3 6 4
9 3 8 5 6 0 4 1 7 2
2 5 3 7 8 6 0 9 4 1
4 6 0 8 7 3 9 2 1 5
1 0 4 6 9 7 8 5 2 3
sq2

Square:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 1 4 0 9 5 8 6 7
4 7 9 6 1 8 3 0 2 5
6 2 4 8 9 0 1 5 7 3
1 5 7 9 6 3 0 2 4 8
8 6 0 7 5 4 2 9 3 1
5 0 6 2 8 1 7 3 9 4
3 9 8 5 7 2 4 1 0 6
9 4 3 1 2 7 8 6 5 0
7 8 5 0 3 6 9 4 1 2

Парная двушка, как всегда имеется, 4 КФ обеих двушек:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
4 9 1 2 6 3 7 8 0 5
7 6 8 5 9 0 4 1 3 2
5 8 0 6 7 2 3 9 1 4
8 4 7 0 3 6 9 2 5 1
9 3 4 1 2 7 8 5 6 0
3 7 5 9 1 8 0 4 2 6
2 0 6 8 5 4 1 3 9 7
6 5 9 7 8 1 2 0 4 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 8 7 6
7 4 8 2 1 3 9 6 5 0
6 9 5 7 3 2 0 4 1 8
8 3 9 6 5 4 1 0 2 7
5 0 7 9 2 6 8 1 3 4
4 6 0 8 7 1 3 2 9 5
2 7 1 5 6 8 4 9 0 3
9 5 6 1 8 0 7 3 4 2
3 8 4 0 9 7 2 5 6 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 6 8 9 3 7
9 6 3 2 8 7 5 4 1 0
4 7 8 5 9 0 2 1 6 3
3 4 1 9 7 8 0 5 2 6
8 5 9 6 1 4 3 0 7 2
5 9 6 7 3 2 1 8 0 4
7 8 5 0 2 3 9 6 4 1
2 0 7 8 6 1 4 3 9 5
6 3 4 1 0 9 7 2 5 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 0 5 4 9 6 7 8
7 4 6 8 9 0 1 3 5 2
6 7 8 5 0 9 4 1 2 3
2 9 1 4 3 6 5 8 0 7
4 6 7 9 1 8 0 2 3 5
9 8 5 2 6 3 7 4 1 0
5 3 0 1 2 7 8 9 6 4
3 5 9 7 8 1 2 0 4 6
8 0 4 6 7 2 3 5 9 1

Итоги: 44422 уникальные КФ в БД не "пустышек" (плюс две двушки).

Пока всё чётное: однушки не self (дают по две КФ), двушки парные и каждая даёт по две КФ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 05 май 2017, 22:23 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 7033
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 1095
Спасибо получено:
548 раз в 508 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
3axap
ой, пока ничего не поняла :)

То было моё мнение на пост: viewtopic.php?p=257888#p257888
Как бы это проще объяснить... Возьмите квадрат 10х10. Зачёркивайте симметрично по одному все внешние ряды и строки, пока в центре исходного квадрата не останется квадрат 2х2. Это конечные 4 числа. По условиям задачи не должно быть одинаковых чисел в диагоналях, а эти 4 числа - есть пересечение диагоналей, то есть, они не должны встречаться в диагоналях. Следовательно, эти числа должны быть разными.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 07:04 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
То было моё мнение на пост: viewtopic.php?p=257888#p257888

В указанном посте речь шла о ЛК, а не о ДЛК.
А в ЛК в диагоналях могут быть и одинаковые элементы.

Но даже если рассматривать ДЛК 10-го порядка и в них этот самый центральный подквадрат 2х2, в котором все элементы различные, как из этого следует, что тройка MOLS 10-го порядка, составленная из трёх ДЛК, не существует?
Если бы это было так просто доказать, давно бы доказали. Во всём мире уже много лет ищут эту тройку MOLS (хоть из ЛК, хоть из ДЛК, хоть из тех и других) и никак найти не могут.
О том, что доказано несуществование тройки MOLS, тоже вроде неизвестно.
Может, сейчас уже и доказано, просто мы об этом ничего не знаем.
Я выше писала об одной теореме...
Но это так и осталось не разобрано до конца.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 10:19 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 7033
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 1095
Спасибо получено:
548 раз в 508 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
3axap писал(а):
Но даже если рассматривать ДЛК 10-го порядка и в них этот самый центральный подквадрат 2х2, в котором все элементы различные, как из этого следует, что тройка MOLS 10-го порядка, составленная из трёх ДЛК, не существует?

Угу. Потребуется 12 различных цифр, как я уже писал, а в вашем распоряжениии только цифры от 0 до 9 )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 11:34 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7477
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 842
Спасибо получено:
646 раз в 566 сообщениях
Очков репутации: -228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
3axap писал(а):
Но даже если рассматривать ДЛК 10-го порядка и в них этот самый центральный подквадрат 2х2, в котором все элементы различные, как из этого следует, что тройка MOLS 10-го порядка, составленная из трёх ДЛК, не существует?

Угу. Потребуется 12 различных цифр, как я уже писал, а в вашем распоряжениии только цифры от 0 до 9 )))

Угу.
Квадраты должны быть попарно ортогональны.
Прям гениально - раз и... доказали :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 15:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2017, 14:59
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Может проще установить, что решений нет? У квадратов 10x10 в центре всегда находятся 4 различных числа по условию. Ортогональных квадратов должно быть 3. Цифр различных должно быть 12, а возможных только 10 имхо. )))


Если я правильно понял вашу мысль, то аналогичный аргумент верен для любого ДЛК четного порядка. В нашей свежей публикации

Манзюк М.О., Ватутин Э.И., Кочемазов С.Е., Заикин О.С. Интересные свойства ортогональных диагональных латинских квадратов 7 и 8 порядка // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации (Распознавание – 2017). Курск: изд-во ЮЗГУ, 2017. С. 235–237.

мы показали, что для N=8 есть целая шестерка попарно-ортогональных ДЛК. Один из квадратов в ее составе:

Код:
0 1 2 3 4 5 6 7
4 2 1 7 0 6 5 3
6 7 3 2 5 4 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0
5 3 7 1 6 0 4 2
3 5 6 0 7 1 2 4
1 0 4 5 2 3 7 6
2 4 0 6 1 7 3 5


Ее существование опровергает вашу гипотезу...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу Пред.  1 ... 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367 ... 421  След.  Страница 364 из 421 [ Сообщений: 4210 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
О теме "Отрогональные латинские квадраты 10-го порядка"

в форуме Предложения, Замечания, Обратная связь

Nataly-Mak

21

2646

14 июн 2018, 05:28

Ортогональные векторы

в форуме Векторный анализ и Теория поля

kala12

2

273

02 ноя 2021, 15:04

Ортогональные собственные вектора

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

HJey

0

252

18 апр 2019, 23:18

Ортогональные центральные композиционный план

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

AHAHAC

2

488

08 дек 2016, 09:20

Ряд Фурье и другие ортогональные разложения

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Chelovekley

1

515

29 апр 2015, 14:47

Обобщенные вещественно ортогональные формы в радиосвязи

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mike84

2

593

14 июн 2015, 13:37

Доказать, что ортогональные проекции вершин н-мерного куба

в форуме Геометрия

Arzybek

13

587

18 сен 2020, 21:29

Квадраты

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Krash

20

864

18 июл 2021, 17:46

Квадраты и степени

в форуме Теория чисел

ammo77

1

319

23 дек 2019, 01:08

Квадраты в окружности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

nerzul88

8

622

20 май 2020, 09:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved