Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 01:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2024, 00:49
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ли поменять местами операторы суммирования и интегрирования в следующем интеграле:
[math]\int\limits_0^{+\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-(k+1)x}dx,\ \ \alpha>0[/math]

Если да, то как это строго математически обосновать? Мне кажется, тут необходимо применить какое-то свойство равномерно сходящихся рядов. Я нашел одно, которое позволяет менять местами операторы, но оно не подходит для данного интеграла, так как этот интеграл несобственный, а там свойство описывается для собственных/определенных интегралов. Может, есть какие-то другие свойства, охватывающие и несобственные интегралы? Если да, то что это за свойство, необходимо ли там доказать равномерную сходимость данного подынтегрального ряда на каком-либо множестве, и если да, то как тогда доказать равномерную сходимость этого ряда на том множестве?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 02:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1172
Cпасибо сказано: 79
Спасибо получено:
381 раз в 364 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vit
Не могли бы пояснить желание поменять местами суммирование и интегрирование в этой задаче.
Ведь [math]\sum\limits_{k=0}^{ \infty }x^{ \alpha }e^{ -\left( k+1 \right)x } = x^{ \alpha } \cdot \frac{ e^{ - x} }{ 1 - e^{ - x} } = \frac{ x^{ \alpha } }{ e^{x} - 1 }.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 10:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2024, 00:49
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
revos, вы правы, данный ряд можно вычислить напрямую, и вы записали верный конечный результат, но как дальше вычислить данный интеграл от полученного подынтегрального выражения? Полученное вами выражение как раз и стояло изначально под знаком интеграла, но напрямую вычислить данный интеграл у меня не получилось, поэтому я и представил данное выражение в виде функционального ряда (Прошу прощения, если где-то неправильно пользуюсь математическими терминами. Надеюсь, всем все будет понятно)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 12:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1172
Cпасибо сказано: 79
Спасибо получено:
381 раз в 364 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vit
Г.М. Фихтенгольц переставляет интегрирование и суммирование.
Том 2, глава 14, §5 Эйлеровы интегралы, раздел 534, пример 11(а).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 14:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2024, 00:49
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
revos, я нашел какую-то книгу от этого автора. Это 2 том, но там нет 14 главы. Все книги, которые я находил, почему-то начинаются с 15 главы. Можете скинуть ссылку на нужную книгу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 16:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1172
Cпасибо сказано: 79
Спасибо получено:
381 раз в 364 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vit
Речь идет о трёхтомнике Г.М. Фихтенгольца под названием "Курс дифф. и инт. исчисления" ,
https://libcats.org/book/330461,
а не об его "Основах математического анализа" в двух томах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю revos "Спасибо" сказали:
Vit
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 13 май 2024, 19:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1172
Cпасибо сказано: 79
Спасибо получено:
381 раз в 364 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот ещё видео ссылка.
https://www.youtube.com/watch?v=UQ7W6CcGOWA&t=191s
Человек не заморачивается, и в момент 03:00 звучит: " ...Кроме того , как обычно, поменяем местами знак интеграла со знаком суммы".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю revos "Спасибо" сказали:
Vit
 Заголовок сообщения: Re: Свойства равномерно сходящихся рядов
СообщениеДобавлено: 14 май 2024, 20:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2024, 00:49
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
revos, я как раз тоже смотел многие его видео, и в одном из них он прямо сказал, что для обоснования таких перестановок необходимо проверять ряды на равномерную сходимость, но предупредил, что таким задачами в своих видео он заниматься будет не всегда и что те, кто хотел бы узнать более строгое доказательство, пускай читают учебники по мат. анализу. Спасибо ему, конечно, за совет, но проблема в том, что для определения равномерной сходимости что для несобственных интегралов, что для функциональных рядов просто не существует никаких четких определенных алгоритмов действий, которые любой человек смог бы выполнить на 100% и смог бы прийти к каким-то выводам относительно равномерной сходимости. Учебники дают только возможные варианты решений. Вот вам признаки Вейерштрасса, вот вам признаки Дирихле-Абеля — ищите какой из них подойдет. А некоторые даже не все признаки предлагают. В основном почему-то только признак Вейрештрасса. Так что от учебников по мат. анализу в этом плане мало толку. Я перечитал кучу электронных учебников про ряды, я знаю все эти признаки, но применить их для данного ряда у меня никак не получается((... Пойду еще почитаю предложенный вами учебник. Может, там я смогу найти ответы...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ряд как сумма сходящихся или расходящихся рядов

в форуме Ряды

Ivan2000Chalov

2

123

11 ноя 2019, 19:35

Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

westernru

1

709

13 май 2015, 17:43

Доказать сходимость ряда разности двух сходящихся рядов

в форуме Ряды

AnnaAnnaAnna

6

581

14 мар 2017, 13:25

Какие лучше использовать свойства рядов?

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Teodor

0

321

02 ноя 2014, 19:08

Какие лучше использовать свойства рядов?

в форуме Ряды

Teodor

0

295

02 ноя 2014, 14:34

Для значения r>0 заданы два сходящихся интеграла

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

11

539

26 июл 2018, 15:12

Задача про касание сходящихся окружностей

в форуме Тригонометрия

mostrest

1

292

02 май 2016, 18:33

Равномерно на интервале

в форуме Теория вероятностей

Museums

3

220

27 май 2021, 16:02

Равномерно распределеный вектор

в форуме Теория вероятностей

Sykes

4

120

29 авг 2022, 09:18

Задание равномерно распределенной сл. вел

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

rety

5

427

23 апр 2017, 17:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved