Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 дек 2022, 13:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 мар 2022, 00:08
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разложить в ряд Тейлора и найти область сходимости этого ряда:
[math]\sqrt{2x + 1}[/math]

Вот его разложение (вроде правильно):

[math]f(x) = 3 + \frac{ (x - 4) }{ 3 } + \sum\limits_{n = 2}^{ \infty } (-1)^{n + 1}\frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{ 2n - 1 } n! } (x - 4)^{n}[/math]

Нашел интервал сходимости этого ряда:

[math]|u_{n}(x)| = \frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{2n - 1} n! } (x - 4)^{n}[/math]

[math]|u_{n + 1}(x)| = \frac{ (2n - 1)!! }{ 3^{2n + 1} n! (n + 1)} (x - 4)^{n + 1} = \frac{ (2n - 3)!!(2n - 1) }{ (3^{2n}3) n!(n + 1)} (x - 4)^{n}(x - 4)[/math]


[math]\frac{ |u_{n + 1}(x)| }{ |u_{n}(x)| } = \frac{ 2n - 1 }{ 3(n + 1) } (x - 4)[/math]

[math]\lim_{n \to \infty } \left| \frac{ 2n - 1 }{ 3(n + 1) } (x - 4) \right| = \frac{ 2 }{ 3 } |x - 4|[/math]

и из неравенства

[math]\frac{ 2 }{ 3 } |x - 4| < 1[/math]

нашел интервал:

[math]\frac{ 5 }{ 2 } < x < \frac{ 11 }{ 2 }[/math]

С левой границей проблем не было. Там ряд сходится.
На правой границе получится знакочередующийся ряд:

[math]\sum\limits_{n = 2}^{\infty } (-1)^{n + 1} \frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{2n - 1}n! } \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{n}[/math]

Если начать исследовать по признаку Лейбница, то появится страшный предел:

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{2n - 1}n! } \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{n}[/math]

и как его решить?

Я попробовал разложить двойной факториал:

[math](2n - 3)!! = \frac{ (2n - 1)!! }{ (2n - 1) } = \frac{ (2n + 1)!! }{ (2n - 1)(2n + 1) } = \frac{ (2n + 1)! }{ 2^{n} n! (2n - 1)(2n + 1) }[/math]
Но предел проще не становится.
Потом пытался применить формулу Стирлинга, но там тоже очень сложный предел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 дек 2022, 14:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ужас какой-то)
Надо свести этот ряд к стандартному и получить, что х от -0,5 до 8,5 включительно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
rivan1
 Заголовок сообщения: Re: Разложить в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 дек 2022, 14:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1063
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
rivan1 писал(а):
[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{2n - 1}n! } \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{n}[/math]

и как его решить?

До получения этого предела ваше решение не проверял.)
[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{2n - 1}n! } \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{n}[/math]=[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (2n - 3)!! }{ 3^{n - 1}n! } \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{n}[/math]

Каждый множитель [math]\ (2n - 3)!![/math] меньше каждого соответствующего множителя
[math]n![/math] , умноженного на 3 (n=2,3,....). Так что дробь меньше единицы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю revos "Спасибо" сказали:
rivan1
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

EGORall

1

197

12 май 2020, 11:49

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

gail-ul

0

197

08 дек 2016, 21:01

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Smehota

2

151

16 дек 2020, 14:33

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

DorianT

1

318

09 дек 2017, 19:37

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

honey

4

233

21 окт 2020, 15:30

Разложить в ряд Тейлора ФНП при x0=0 и y0=0

в форуме Ряды

EGORall

3

251

04 окт 2020, 19:48

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Dirolina

7

770

17 июн 2015, 00:16

Разложить в ряд Тейлора

в форуме Ряды

ArtemSergeev

3

314

13 ноя 2022, 18:13

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

4

238

16 янв 2020, 08:38

Разложить в ряд Тейлора (Маклорена)

в форуме Ряды

351w

1

216

09 дек 2018, 07:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved