Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 19:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2022, 21:41
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. Прошу помочь с заданием:
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:
[math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\frac{(\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}\cos{6n}[/math]

Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз :)

Смог (?) определить условную по признаку Дирихле: [math]a_{n} = \frac{ (\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}[/math],[math]b_{n} = \cos{6n}[/math]. [math]a_{n}[/math] монотонно убывает при [math]n > e^{12}[/math], предел равен нулю. Последовательность частичных сумм ряда косинусов ограничена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 19:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Условная сходимость: общий член стремится к нулю --> условно сходится.
Абсолютная сходимость: [math]\left| \cos{x} \right| \leqslant 1 \Rightarrow \sum \leqslant \sum \frac{(\ln{x})^3 }{x^{1 \slash 4} }[/math]
Теперь надо сравнить общий член в последней сумме с общим членом гармонического ряда - кто быстрее стремится к нулю: [math]\lim_{n \to \infty }\frac{1 \slash n}{(\ln{n})^3 \slash n^{1 \slash 4} }=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3 \slash 4}(\ln{n})^3}=0,[/math] т.е. гармонический ряд быстрее --> ряд абсолютно расходится.


Последний раз редактировалось Exzellenz 22 ноя 2022, 20:22, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 20:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cubicglobe писал(а):
Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз

Тогда попробуйте показать, что абсолютной сходимости нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 20:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока я делал исправления, searcher вклинился.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 20:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2022, 21:41
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Условная сходимость: общий член стремится к нулю --> условно сходится.
Абсолютная сходимость: [math]\left| \cos{x} \right| \leqslant 1 \Rightarrow \sum \leqslant \sum \frac{(\ln{x})^3 }{x^{1 \slash 4} }[/math]
Теперь надо сравнить общий член в последней сумме с общим членом гармонического ряда - кто быстрее стремится к нулю: [math]\lim_{n \to \infty }\frac{1 \slash n}{(\ln{n})^3 \slash n^{1 \slash 4} }=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3 \slash 4}(\ln{n})^3}=0,[/math] т.е. гармонический ряд быстрее --> ряд абсолютно расходится.

Вы использовали 1-й признак сравнения, когда находили ряд больше, чем исходный. Да, он расходится, однако это не означает, что исходный ряд расходится. Вот если бы меньший ряд расходился, можно было бы об этом говорить.

А при определении условной сходимости вы использовали необходимый признак, а не достаточный.

Поправьте, если не так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 20:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2022, 21:41
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
cubicglobe писал(а):
Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз

Тогда попробуйте показать, что абсолютной сходимости нет.

Как раз с этим у меня и проблемы. Я не могу найти меньший по модулю или эквивалентный ряд, который расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 21:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В последовательности [math]\left| \cos 6n \right|[/math] периодически будут появляться числа большие [math]1 \slash 2[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 21:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Пока я делал исправления, searcher вклинился.

Извиняюсь, что вклинился. Когда отправлял свой пост, ваш был пустым.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 21:18 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cubicglobe писал(а):
Добрый день. Прошу помочь с заданием:
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:
[math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\frac{(\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}\cos{6n}[/math]

Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз :)

Смог (?) определить условную по признаку Дирихле: [math]a_{n} = \frac{ (\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}[/math],[math]b_{n} = \cos{6n}[/math]. [math]a_{n}[/math] монотонно убывает при [math]n > e^{12}[/math], предел равен нулю. Последовательность частичных сумм ряда косинусов ограничена.

Ну это ж стандарт. Оценить модуль косинуса снизу квадратом косинуса.
Дальше должно быть понятно, раз уже целый месяц.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 21:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cubicglobe писал(а):
... при определении условной сходимости вы использовали необходимый признак, а не достаточный.

Еще раз: стремление общего члена к нулю является необходимым условием для знакопостоянного ряда и достаточным для знакопеременного.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

Tom18

1

401

25 май 2021, 13:49

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

Ksusha11111

5

734

14 июн 2015, 12:26

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

missb

14

1520

15 май 2014, 17:36

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

Tom18

1

442

25 май 2021, 13:50

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

tagor

9

605

17 апр 2019, 00:43

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

karastia_13

1

308

15 мар 2018, 16:31

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

dwarf2100

2

236

13 июн 2020, 11:52

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Zqquiet

0

379

21 май 2021, 12:37

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

351w

6

262

24 май 2020, 09:20

Исследовать на абсолютную или условную сходимость

в форуме Ряды

himecu

2

217

01 дек 2022, 22:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved