Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
cubicglobe |
|
|
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость: [math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\frac{(\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}\cos{6n}[/math] Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз Смог (?) определить условную по признаку Дирихле: [math]a_{n} = \frac{ (\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}[/math],[math]b_{n} = \cos{6n}[/math]. [math]a_{n}[/math] монотонно убывает при [math]n > e^{12}[/math], предел равен нулю. Последовательность частичных сумм ряда косинусов ограничена. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Условная сходимость: общий член стремится к нулю --> условно сходится.
Абсолютная сходимость: [math]\left| \cos{x} \right| \leqslant 1 \Rightarrow \sum \leqslant \sum \frac{(\ln{x})^3 }{x^{1 \slash 4} }[/math] Теперь надо сравнить общий член в последней сумме с общим членом гармонического ряда - кто быстрее стремится к нулю: [math]\lim_{n \to \infty }\frac{1 \slash n}{(\ln{n})^3 \slash n^{1 \slash 4} }=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3 \slash 4}(\ln{n})^3}=0,[/math] т.е. гармонический ряд быстрее --> ряд абсолютно расходится. Последний раз редактировалось Exzellenz 22 ноя 2022, 20:22, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
cubicglobe писал(а): Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз Тогда попробуйте показать, что абсолютной сходимости нет. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Пока я делал исправления, searcher вклинился.
|
||
Вернуться к началу | ||
cubicglobe |
|
|
Exzellenz писал(а): Условная сходимость: общий член стремится к нулю --> условно сходится. Абсолютная сходимость: [math]\left| \cos{x} \right| \leqslant 1 \Rightarrow \sum \leqslant \sum \frac{(\ln{x})^3 }{x^{1 \slash 4} }[/math] Теперь надо сравнить общий член в последней сумме с общим членом гармонического ряда - кто быстрее стремится к нулю: [math]\lim_{n \to \infty }\frac{1 \slash n}{(\ln{n})^3 \slash n^{1 \slash 4} }=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3 \slash 4}(\ln{n})^3}=0,[/math] т.е. гармонический ряд быстрее --> ряд абсолютно расходится. Вы использовали 1-й признак сравнения, когда находили ряд больше, чем исходный. Да, он расходится, однако это не означает, что исходный ряд расходится. Вот если бы меньший ряд расходился, можно было бы об этом говорить. А при определении условной сходимости вы использовали необходимый признак, а не достаточный. Поправьте, если не так. |
||
Вернуться к началу | ||
cubicglobe |
|
|
searcher писал(а): cubicglobe писал(а): Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз Тогда попробуйте показать, что абсолютной сходимости нет. Как раз с этим у меня и проблемы. Я не могу найти меньший по модулю или эквивалентный ряд, который расходится. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
В последовательности [math]\left| \cos 6n \right|[/math] периодически будут появляться числа большие [math]1 \slash 2[/math] .
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Exzellenz писал(а): Пока я делал исправления, searcher вклинился. Извиняюсь, что вклинился. Когда отправлял свой пост, ваш был пустым. |
||
Вернуться к началу | ||
mysz |
|
|
cubicglobe писал(а): Добрый день. Прошу помочь с заданием: Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость: [math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\frac{(\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}\cos{6n}[/math] Я не могу установить абсолютную сходимость. Я бьюсь над этим типовиком второй месяц, близится невроз Смог (?) определить условную по признаку Дирихле: [math]a_{n} = \frac{ (\ln{n})^{3}}{\sqrt[4]{n}}[/math],[math]b_{n} = \cos{6n}[/math]. [math]a_{n}[/math] монотонно убывает при [math]n > e^{12}[/math], предел равен нулю. Последовательность частичных сумм ряда косинусов ограничена. Ну это ж стандарт. Оценить модуль косинуса снизу квадратом косинуса. Дальше должно быть понятно, раз уже целый месяц. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
cubicglobe писал(а): ... при определении условной сходимости вы использовали необходимый признак, а не достаточный. Еще раз: стремление общего члена к нулю является необходимым условием для знакопостоянного ряда и достаточным для знакопеременного. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
1 |
401 |
25 май 2021, 13:49 |
|
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость
в форуме Ряды |
5 |
734 |
14 июн 2015, 12:26 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
14 |
1520 |
15 май 2014, 17:36 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
1 |
442 |
25 май 2021, 13:50 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
9 |
605 |
17 апр 2019, 00:43 |
|
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость
в форуме Ряды |
1 |
308 |
15 мар 2018, 16:31 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
2 |
236 |
13 июн 2020, 11:52 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
379 |
21 май 2021, 12:37 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
6 |
262 |
24 май 2020, 09:20 |
|
Исследовать на абсолютную или условную сходимость
в форуме Ряды |
2 |
217 |
01 дек 2022, 22:39 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |