Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 17 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Canister |
|
|
Чисто случайно численными экспериментами на Python я обнаружил такую вещь: [math]\sum_N \sin^2 \left ( \cfrac{2 \pi i}{N} + \varphi_0 \right ) = \sum_N \cos^2 \left ( \cfrac{2 \pi i}{N} + \varphi_0 \right ), \; i = 0, \ldots, (N-1)[/math] Здесь [math]N = 3, \ldots, 720[/math] — это число разбиений окружности (360°). [math]\varphi_0[/math] — это начальное значение угла, от нуля до [math]\cfrac{2 \pi}{N}[/math]. Чисто интуитивно я не вижу причин тому, чтобы эти суммы были равны, но все мои расчёты и на Python и на обычном калькуляторе показывают, что эти две суммы равны. Как мне доказать это равенство? Дайте, пожалуйста, хотя бы наводку. Сам не математик, а инженер. Нормально знаю только школьную математику и чуток в памяти осталось от вузовской. Заранее спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
salam |
|
|
Если например подставить [math]i=0[/math] разве получится равенство?
|
||
Вернуться к началу | ||
Canister |
|
|
salam писал(а): Если например подставить [math]i=0[/math] разве получится равенство? Я, к сожалению, не понял вопроса, поэтому попробую разъяснить суть уравнения. Пусть [math]N = 12[/math] (делим окружность на 12 частей) и [math]\varphi_0 = 0[/math]. Тогда получим массив значений для [math]\sin[/math] и [math]\cos[/math]: 0, 30, 60, 90, 120, 180, 210, 240, 270, 300, 330. Первая сумма: [math]\sin^20^\circ + \sin^230^\circ + \sin^260^\circ + \sin^290^\circ + \sin^2120^\circ + \sin^2150^\circ + \sin^2180^\circ + \sin^2210^\circ + \sin^2240^\circ + \sin^2270^\circ + \sin^2300^\circ + \sin^2330^\circ = 6[/math] Вторая сумма: [math]\cos^20^\circ + \cos^230^\circ + \cos^260^\circ + \cos^290^\circ + \cos^2120^\circ + \cos^2150^\circ + \cos^2180^\circ + \cos^2210^\circ + \cos^2240^\circ + \cos^2270^\circ + \cos^2300^\circ + \cos^2330^\circ = 6[/math] Мне нужно доказать это хотя бы для N от 3 до 720 включительно (значение [math]\varphi_0[/math] любое от нуля до углового шага [math]\frac{2\pi}{N}[/math]). |
||
Вернуться к началу | ||
salam |
|
|
Canister, просто вы написали выше [math]\sum_N[/math], я так понял должно быть так [math]\sum_i[/math]?
|
||
Вернуться к началу | ||
Canister |
|
|
salam писал(а): Canister, просто вы написали выше [math]\sum_N[/math], я так понял должно быть так [math]\sum_i[/math]? Вы правильно заметили. Должно быть [math]\sum_{i=0}^{N-1}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
salam |
|
|
Можно попробовать найти их разницу.
|
||
Вернуться к началу | ||
salam |
|
|
Если их отнять то под суммой выходит косинус двойного угла.
|
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Canister
По-моему, доказательство довольно простое. Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [0; [math]\frac{ \pi }{ 2 }][/math]. Применяя формулы приведения, получим:[math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: Canister |
||
underline |
|
|
[quote="underline"]Canister
По-моему, доказательство довольно простое. Для четных [math]N[/math]. Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [0; [math]\frac{ \pi }{ 2 }][/math]. Применяя формулы приведения, получим:[math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти. Для нечётных [math]N[/math]. Без разбиения на группы применяем формулу косинуса двойного угла, после чего применяем формулы приведения и пользуемся четностью косинуса, но это бегло, пока нет времени проверить до конца. |
||
Вернуться к началу | ||
Canister |
|
|
underline писал(а): По-моему, доказательство довольно простое. Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [math][0; \cfrac{\pi}{2}][/math]. Применяя формулы приведения, получим: [math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти. Спасибо. Пока я был не за компом, я уже сам допёр до этого... Но чуть-чуть иначе. Из-за постоянства углового шага получается, что после того, как сделаем полный оборот, мы попадаем снова на те же углы, особенно в первой четверти. А дальше как у вас. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 17 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий | 1 |
557 |
22 сен 2015, 14:35 |
|
Требуется доказать теорему для матриц специального вида
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
266 |
22 сен 2017, 19:10 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
4 |
150 |
22 май 2023, 19:23 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
8 |
739 |
17 июн 2015, 00:18 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
0 |
185 |
06 мар 2022, 17:42 |
|
Доказать равенство | 2 |
258 |
28 фев 2022, 16:35 |
|
Доказать равенство
в форуме Алгебра |
2 |
519 |
11 сен 2015, 20:47 |
|
Доказать равенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
261 |
22 апр 2020, 18:02 |
|
Доказать равенство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
8 |
482 |
04 май 2018, 16:33 |
|
Доказать равенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
374 |
17 дек 2014, 22:04 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |