Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 12:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2022, 12:31
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем здравствуйте.

Чисто случайно численными экспериментами на Python я обнаружил такую вещь:

[math]\sum_N \sin^2 \left ( \cfrac{2 \pi i}{N} + \varphi_0 \right ) = \sum_N \cos^2 \left ( \cfrac{2 \pi i}{N} + \varphi_0 \right ), \; i = 0, \ldots, (N-1)[/math]


Здесь [math]N = 3, \ldots, 720[/math] — это число разбиений окружности (360°).

[math]\varphi_0[/math] — это начальное значение угла, от нуля до [math]\cfrac{2 \pi}{N}[/math].

Чисто интуитивно я не вижу причин тому, чтобы эти суммы были равны, но все мои расчёты и на Python и на обычном калькуляторе показывают, что эти две суммы равны.

Как мне доказать это равенство? Дайте, пожалуйста, хотя бы наводку.

Сам не математик, а инженер. Нормально знаю только школьную математику и чуток в памяти осталось от вузовской.

Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 13:42 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
02 сен 2021, 19:57
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если например подставить [math]i=0[/math] разве получится равенство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 14:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2022, 12:31
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
salam писал(а):
Если например подставить [math]i=0[/math] разве получится равенство?


Я, к сожалению, не понял вопроса, поэтому попробую разъяснить суть уравнения.

Пусть [math]N = 12[/math] (делим окружность на 12 частей) и [math]\varphi_0 = 0[/math]. Тогда получим массив значений для [math]\sin[/math] и [math]\cos[/math]:

0, 30, 60, 90, 120, 180, 210, 240, 270, 300, 330.

Первая сумма: [math]\sin^20^\circ + \sin^230^\circ + \sin^260^\circ + \sin^290^\circ + \sin^2120^\circ + \sin^2150^\circ + \sin^2180^\circ + \sin^2210^\circ + \sin^2240^\circ + \sin^2270^\circ + \sin^2300^\circ + \sin^2330^\circ = 6[/math]

Вторая сумма: [math]\cos^20^\circ + \cos^230^\circ + \cos^260^\circ + \cos^290^\circ + \cos^2120^\circ + \cos^2150^\circ + \cos^2180^\circ + \cos^2210^\circ + \cos^2240^\circ + \cos^2270^\circ + \cos^2300^\circ + \cos^2330^\circ = 6[/math]

Мне нужно доказать это хотя бы для N от 3 до 720 включительно (значение [math]\varphi_0[/math] любое от нуля до углового шага [math]\frac{2\pi}{N}[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 14:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
02 сен 2021, 19:57
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Canister, просто вы написали выше [math]\sum_N[/math], я так понял должно быть так [math]\sum_i[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 14:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2022, 12:31
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
salam писал(а):
Canister, просто вы написали выше [math]\sum_N[/math], я так понял должно быть так [math]\sum_i[/math]?


Вы правильно заметили. Должно быть [math]\sum_{i=0}^{N-1}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 15:46 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
02 сен 2021, 19:57
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно попробовать найти их разницу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 16:01 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
02 сен 2021, 19:57
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
45 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если их отнять то под суммой выходит косинус двойного угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 18:03 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Canister
По-моему, доказательство довольно простое. Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [0; [math]\frac{ \pi }{ 2 }][/math]. Применяя формулы приведения, получим:[math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
Canister
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 18:22 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="underline"]Canister
По-моему, доказательство довольно простое.
Для четных [math]N[/math].
Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [0; [math]\frac{ \pi }{ 2 }][/math]. Применяя формулы приведения, получим:[math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти.
Для нечётных [math]N[/math].
Без разбиения на группы применяем формулу косинуса двойного угла, после чего применяем формулы приведения и пользуемся четностью косинуса, но это бегло, пока нет времени проверить до конца.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Требуется доказать равенство рядов
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 18:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2022, 12:31
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
По-моему, доказательство довольно простое. Разобьём все слагаемые в правой и левой части на 4 группы, в каждую из которых войдут только углы из одной четверти окружности, например [math][0; \cfrac{\pi}{2}][/math]. Применяя формулы приведения, получим: [math]\sin^{2} { \alpha }=\cos^{2} ({\frac{ \pi }{ 2 } - \alpha })[/math], где [math]\alpha[/math] - заданный угол из четверти.


Спасибо. Пока я был не за компом, я уже сам допёр до этого... Но чуть-чуть иначе. Из-за постоянства углового шага получается, что после того, как сделаем полный оборот, мы попадаем снова на те же углы, особенно в первой четверти. А дальше как у вас.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

557

22 сен 2015, 14:35

Требуется доказать теорему для матриц специального вида

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MaximKarimov

0

266

22 сен 2017, 19:10

Доказать равенство

в форуме Ряды

carti539

4

150

22 май 2023, 19:23

Доказать равенство

в форуме Ряды

Dirolina

8

739

17 июн 2015, 00:18

Доказать равенство

в форуме Ряды

sweet_cheeks

0

185

06 мар 2022, 17:42

Доказать равенство

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Evgenii123456

2

258

28 фев 2022, 16:35

Доказать равенство

в форуме Алгебра

megoncharov

2

519

11 сен 2015, 20:47

Доказать равенство

в форуме Тригонометрия

Bastun

1

261

22 апр 2020, 18:02

Доказать равенство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Dreamchaser

8

482

04 май 2018, 16:33

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PolushkinaAA

4

374

17 дек 2014, 22:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved