Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Степенные ряды
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2021, 20:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.
Есть задача: доказать, что

[math]\left( \sum\limits_{0}^{ \infty }\frac{ x^{n} }{ n! } \right)^{2} = \sum\limits_{0}^{ \infty }\frac{ \left( 2x \right)^{n} }{ n! }[/math]

Первая (и единственная на данный момент) мысль: записать цепочку сложных преобразований ( :D1 ) вроде:

[math]\left( e^{x} \right)^{2} = e^{2x}[/math]

Только есть сомнения, что это будет воспринято как доказательство.
Прошу совета/подсказки.
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Степенные ряды
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2021, 20:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде Вы верно рассуждаете!
[math]\sum\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{ x^{n} }{ n! }[/math] , разложение ф-я [math]e^{x}[/math] в ряд Маклаурена(Taylor-а), а
[math]\sum\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{ \left( 2x \right)^{n} }{ n! }[/math] , разложение ф-я [math]e^{2x}[/math] в ряд Маклаурена(Taylor-а).
Поскольку [math]\left( e^{x} \right)^2 = e^{2x} \Rightarrow \left( \sum\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{ x^{n} }{ n! } \right)^2= \sum\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{ \left( 2x \right)^{n} }{ n! }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Степенные ряды
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2021, 20:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN, коэффициент при x^n слева считаем: 1/n!+1/(n-1)!1!+1/(n-2)!2!+...+1/n!. Приводим все числа к знаменателю n! и в числителях получаются биномиальные коэффициенты с известной суммой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
AGN
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Степенные ряды

в форуме Ряды

Roman Kolyakhov

1

166

23 мар 2019, 09:36

Степенные ряды

в форуме Ряды

Ntallii

6

188

13 ноя 2019, 13:48

Функциональные, степенные ряды

в форуме Ряды

ArtemIlyin

2

312

07 июн 2015, 21:55

Степенные ряды задано найти радиус и промежуток сходимости

в форуме Ряды

efinf

0

241

16 июн 2016, 21:07

Степенные суммы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Coldunox

1

307

13 мар 2018, 18:35

Степенные вычеты

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

N31R0N

0

114

06 окт 2019, 12:13

Степенные таблицы

в форуме Теория чисел

ammo77

0

294

12 дек 2019, 09:18

Степенные последовательности простых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

vorvalm

1

482

01 авг 2019, 08:36

Ряды

в форуме Ряды

Vera101

1

277

26 июн 2016, 11:54

Ряды

в форуме Ряды

Volkswagen101

9

184

04 ноя 2020, 16:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved