Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
СообщениеДобавлено: 23 сен 2021, 16:49 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
21 апр 2020, 14:59
Сообщений: 209
Cпасибо сказано: 125
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, задание звучит следующим образом:

Разложите данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки [math]x_{0}[/math], используя стандартные разложения. Укажите область сходимости получившегося ряда.

[math]f(x) = cos(\frac{ x }{ 2 } )[/math], [math]x_{0} = \pi[/math]

Затруднение вызывает именно 1-я часть задания: "разложить в ряд Тейлора в окрестности точки".

С самим разложением все вроде просто. Достаточно использовать стандартное разложение косинуса:

[math]\cos{x} = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)^{n}x^{2n} }{ (2n)! }[/math], [math]- \infty < x < \infty[/math]

[math]f(x) = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)^{n}(\frac{ x }{ 2 } )^{2n} }{ (2n)! } = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)^{n}x^{2n} }{ 4^{n} (2n)! }[/math] , [math]- \infty < x < \infty[/math]

Но я не понимаю что значит и как делается "разложить в ряд Тейлора в окрестности точки"

Пытался поискать сам - но ничего понятного для себя так и не нашел...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
СообщениеДобавлено: 23 сен 2021, 20:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так как [math]\cos\left( \frac{ x_0+x }{ 2 } \right)=\cos\left( \frac{ \pi +x }{ 2 } \right) =-\sin\left( \frac{ x }{ 2 } \right)[/math], то достаточно использовать стандартное разложение для синуса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
СообщениеДобавлено: 23 сен 2021, 22:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
uiiiiiii писал(а):
Но я не понимаю что значит и как делается "разложить в ряд Тейлора в окрестности точки"

Пытался поискать сам - но ничего понятного для себя так и не нашел...

"Как делается" - это вторично. Главное - "что значит". А где по вашему должен разлагаться ряд Тейлора?
А если вы поймёте геометрический смысл ряда Тейлора, то вопрос с окрестностью точки прояснится.

Если слово "окрестность" вас смущает, считайте, что надо найти ряд Тейлора в точке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
СообщениеДобавлено: 25 сен 2021, 15:47 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
21 апр 2020, 14:59
Сообщений: 209
Cпасибо сказано: 125
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Так как [math]\cos\left( \frac{ x_0+x }{ 2 } \right)=\cos\left( \frac{ \pi +x }{ 2 } \right) =-\sin\left( \frac{ x }{ 2 } \right)[/math], то достаточно использовать стандартное разложение для синуса.


Т.е. получается как-то так(?):

[math]\cos\left( \frac{ x_0+x }{ 2 } \right)=\cos\left( \frac{ \pi +x }{ 2 } \right) =-\sin\left( \frac{ x }{ 2 } \right)[/math]

[math]-sin({\frac{ x }{ 2 } }) = -\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)^{n+1}(\frac{ x }{ 2 }) ^{2n-1} }{ (2n-1)! } = -\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)^{n+1}x ^{2n-1} }{ 2^{2n-1} (2n-1)! } = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } 2\frac{ (-1)^{n+2}x ^{2n-1} }{ 4^{n} (2n-1)! }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0

в форуме Ряды

Romanich

1

441

22 дек 2016, 14:21

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

в форуме Ряды

ExtreMaLLlka

1

403

18 май 2015, 11:05

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки А=2

в форуме Ряды

Purpleone

1

537

23 май 2014, 13:13

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки z=0

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sergikx

4

824

29 ноя 2015, 12:10

Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки Zo

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Torres_1_

2

885

30 май 2014, 18:47

Разложить функцию в степенной ряд в окрестности точки х0

в форуме Ряды

ShreX

6

255

02 ноя 2021, 14:04

Разложить функцию в ряд Тейлора в окружности точки х

в форуме Ряды

lyutikovvlad

1

317

07 июн 2021, 15:38

Ряд Тейлора. В окрестности точки z = 0

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

invimonstrum

1

355

30 сен 2015, 16:37

Разложить в ряд Лорана в окрестности точки zo=0

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

betka29

1

513

25 ноя 2014, 22:19

Разложить в ряд Лорана в окрестности точки

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Pjeys

2

146

26 май 2021, 23:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved