Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 11:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июл 2021, 11:25
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)[/math][math]^{2}[/math] Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как вычислить сумму этого ряда.

Я попытался разложить вот таким образом :
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)[/math][math]^{2}[/math] [math]=[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ 1\slash 6 }{3n-1 } + \frac{ 1\slash 6 }{3n+1 } \right)[/math][math]^{2}[/math] [math]=[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ 1\slash 36 }{\left(3n-1 \right) ^{2} } + \frac{ 1\slash 18 }{\left(3n-1 \right) \left( 3n+1 \right) }+ \frac{ 1\slash 36 }{\left(3n+1 \right) ^{2} } \right)[/math]

По идее, надо теперь рассматривать это как три ряда. Что делать со слагаемым по середине я знаю, а вот что с двумя другими - нет.

Пытался через ряды Фурье, ничего путного не вышло.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 13:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверное придется вычетами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 13:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Hohohehe
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 13:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{ N}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=\lim_{N\to\infty} \frac12\sum\limits_{n=-N}^{ N }\frac{ n^2 }{\left(9n^{2}-1 \right)^2 }=-\frac12\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z = \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) -\frac12 \mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z =- \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) + \lim_{N\to\infty}\pi i\int_{\gamma_N} \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot( \pi z) dz[/math]
где [math]\gamma_n[/math] квадрат, охватывающий [math]N[/math] полюсов
Изображение
Функция [math]\frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot( \pi z)[/math] построена из условия, что её вычеты в целых точках равна слагаемым под суммой.
Интеграл по контуру [math]\gamma_N[/math] в пределе равен нулю.
Получается
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=-\frac12\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z = \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) -\frac12 \mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z =- \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) =\frac{1}{972} \pi \left(4 \pi -3 \sqrt{3}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Hohohehe, MihailM
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 15:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июл 2021, 11:25
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, разобрался. И не думал, что КомплАн поможет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 20 июл 2021, 18:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hohohehe писал(а):
Спасибо, разобрался. И не думал, что КомплАн поможет.

Кстати через преобразование Фурье используя формулу Пуассона тоже можно прийти к ответу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 21 июл 2021, 10:47 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hohohehe
Как вариант. Значение суммы ряда [math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/math] известно с давних пор. Конечно, можно еще раз посчитать, для этого нынче много средств, от рядов Фурье до теоремы Миттаг-Леффлера. Последняя ссылка дает много больше, чем сумму такого ряда, она почти решает нашу задачу.

Но если полагать этот результат (значение суммы) уже известным, то
[math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k-1)^2}+{\color{blue}\boxed{{\color{black} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k-1)^2}+
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k+1)^2} }}} +\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k)^2}+1[/math]
сумма выделенных слагаемых отсюда находится без труда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 22 июл 2021, 13:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mysz
Миттаг-Лефлер больше для разложения в сумму по полюсам

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму ряда
СообщениеДобавлено: 23 июл 2021, 02:52 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
Миттаг-Лефлер больше для разложения в сумму по полюсам

Ну правильно. И именно им вы и пользуетесь. По большому счету если. И я тоже, только для других рядов. Поскольку ТС почему-то решил, что ему их хватит. Нет, не хватит. Но посчитать можно и без тяжелой артиллерии.

Я догадываюсь, почему он так решил. Видимо, на вид попутал с телескопическими. Только это не оно. И считать лучше сразу исходный ряд.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

tanyhaftv

5

357

28 май 2021, 20:28

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

351w

10

382

04 июн 2020, 07:07

Вычислить сумму ряда

в форуме Теория чисел

Anabika

12

1429

02 июн 2015, 18:57

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

351w

3

253

13 июн 2020, 06:02

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

Krotikov

1

185

22 дек 2021, 13:57

Как вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

Heczy

1

518

09 апр 2016, 08:30

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

351w

3

168

03 июн 2020, 21:18

Вычислить сумму ряда с заданной точностью С++

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Will

2

2026

16 сен 2015, 19:44

C++ вычислить сумму ряда с заданной точностью 0.0001

в форуме Информатика и Компьютерные науки

lol123

7

635

18 янв 2021, 00:52

Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Koleso

0

755

11 май 2017, 19:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved