Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Hohohehe |
|
|
Я попытался разложить вот таким образом : [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)[/math][math]^{2}[/math] [math]=[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ 1\slash 6 }{3n-1 } + \frac{ 1\slash 6 }{3n+1 } \right)[/math][math]^{2}[/math] [math]=[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\left(\frac{ 1\slash 36 }{\left(3n-1 \right) ^{2} } + \frac{ 1\slash 18 }{\left(3n-1 \right) \left( 3n+1 \right) }+ \frac{ 1\slash 36 }{\left(3n+1 \right) ^{2} } \right)[/math] По идее, надо теперь рассматривать это как три ряда. Что делать со слагаемым по середине я знаю, а вот что с двумя другими - нет. Пытался через ряды Фурье, ничего путного не вышло. |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
Наверное придется вычетами.
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: Hohohehe |
||
Student Studentovich |
|
|
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{ N}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=\lim_{N\to\infty} \frac12\sum\limits_{n=-N}^{ N }\frac{ n^2 }{\left(9n^{2}-1 \right)^2 }=-\frac12\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z = \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) -\frac12 \mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z =- \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) + \lim_{N\to\infty}\pi i\int_{\gamma_N} \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot( \pi z) dz[/math]
где [math]\gamma_n[/math] квадрат, охватывающий [math]N[/math] полюсов Функция [math]\frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot( \pi z)[/math] построена из условия, что её вычеты в целых точках равна слагаемым под суммой. Интеграл по контуру [math]\gamma_N[/math] в пределе равен нулю. Получается [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty}\left(\frac{ n }{9n^{2}-1 } \right)^2=-\frac12\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z = \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) -\frac12 \mathop{\operatorname{Res}}\limits_{z =- \frac13}\left( \frac{ z^2 \pi }{\left(9z^{2}-1 \right)^2 }\cot \pi z\right) =\frac{1}{972} \pi \left(4 \pi -3 \sqrt{3}\right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали: Hohohehe, MihailM |
||
Hohohehe |
|
|
Спасибо, разобрался. И не думал, что КомплАн поможет.
|
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
Hohohehe писал(а): Спасибо, разобрался. И не думал, что КомплАн поможет. Кстати через преобразование Фурье используя формулу Пуассона тоже можно прийти к ответу. |
||
Вернуться к началу | ||
mysz |
|
|
Hohohehe
Как вариант. Значение суммы ряда [math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/math] известно с давних пор. Конечно, можно еще раз посчитать, для этого нынче много средств, от рядов Фурье до теоремы Миттаг-Леффлера. Последняя ссылка дает много больше, чем сумму такого ряда, она почти решает нашу задачу. Но если полагать этот результат (значение суммы) уже известным, то [math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k-1)^2}+{\color{blue}\boxed{{\color{black} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k-1)^2}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k+1)^2} }}} +\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(3k)^2}+1[/math] сумма выделенных слагаемых отсюда находится без труда. |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
mysz
Миттаг-Лефлер больше для разложения в сумму по полюсам |
||
Вернуться к началу | ||
mysz |
|
|
Student Studentovich писал(а): Миттаг-Лефлер больше для разложения в сумму по полюсам Ну правильно. И именно им вы и пользуетесь. По большому счету если. И я тоже, только для других рядов. Поскольку ТС почему-то решил, что ему их хватит. Нет, не хватит. Но посчитать можно и без тяжелой артиллерии. Я догадываюсь, почему он так решил. Видимо, на вид попутал с телескопическими. Только это не оно. И считать лучше сразу исходный ряд. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
5 |
357 |
28 май 2021, 20:28 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
10 |
382 |
04 июн 2020, 07:07 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Теория чисел |
12 |
1429 |
02 июн 2015, 18:57 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
3 |
253 |
13 июн 2020, 06:02 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
1 |
185 |
22 дек 2021, 13:57 |
|
Как вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
1 |
518 |
09 апр 2016, 08:30 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
3 |
168 |
03 июн 2020, 21:18 |
|
Вычислить сумму ряда с заданной точностью С++
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
2 |
2026 |
16 сен 2015, 19:44 |
|
C++ вычислить сумму ряда с заданной точностью 0.0001
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
7 |
635 |
18 янв 2021, 00:52 |
|
Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье | 0 |
755 |
11 май 2017, 19:16 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |