Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=84188
Страница 1 из 1

Автор:  Xenia1996 [ Сегодня, 01:48 ]
Заголовок сообщения:  Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, расставьте в клетках таблицы [math]3\times 3[/math] цифры от 1 до 9 (чтобы каждая встречалась ровно 1 раз) так, чтобы произведение цифр в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей давало один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число [math]n.[/math]

Автор:  tomtitsin [ Сегодня, 10:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками

сам не допёр. Пришлось разбудить Алину (Воцапом, не подумайте чего :oops: )
Она сказала, что искать по модулю меньше 10 бесполезно. Нули. А лучше по модулю простому. Типа 11. Я умоюсь, а ты кофе свари. Карочи, ищи произведения типа 12, 45, 56. Они как раз.
Я единичку поставил в центр и не особо долго думая (чего и не умею) расставил на бумажке, и даже кофка не убежала. (Говорят, мальчикам сейчас так надо её называть, а девочкам свобода. Они даже <cns> называют — он).
2 4 7
9 1 5
8 3 6
Остатки произведений все 1 по модулю 11.
С точностью до поворотов и отражений. Для нахождения чего другого надо прогу сочинять. Не велено. Несу, несу!

Автор:  Xenia1996 [ Сегодня, 11:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками

tomtitsin
Большое спасибо!
Любопытно, что ИИ тоже справился. Причём думал он всего одну минуту и 44 секунды:

https://chatgpt.com/share/675391d4-e2e0 ... 4a15f753b5

Цитата:
**Краткий итог решения:**
Ниже приведён один из возможных вариантов расстановки цифр от 1 до 9 в квадрат 3×3, при котором произведение чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали даёт один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число n. Конкретно, в данном решении получается, что при n = 11 все восемь произведений дают остаток 1.

**Найденный пример решения:**

```
8 3 6
9 1 5
2 4 7
```

**Пояснения к решению:**

1. **Постановка задачи:**
Нужно расставить цифры 1–9 по клеткам 3×3 так, чтобы произведения чисел в 3 строках, 3 столбцах и 2 диагоналях давали одинаковый ненулевой остаток по модулю некоторого натурального числа n.

2. **Выбор модуля:**
Если взять n = 11 (простое число, большее 9), то никакая отдельная цифра 1–9 не будет давать нулевой остаток по модулю 11. Это упрощает задачу, так как нулевые произведения легко исключить. Нам нужно, чтобы все 8 произведений были конгруэнтны одному и тому же ненулевому числу по модулю 11.

3. **Обоснование построения:**
- Центр квадрата взят равным 1. Так упрощается условие для диагоналей и средних линии (центральной строки и центрального столбца), так как наличие 1 не меняет произведения по модулю.
- Подбор чисел в углах и на краях осуществлялся на основе свойств обратимых элементов по модулю 11. Пары чисел (2 и 6), (3 и 4), (5 и 9), (7 и 8) при умножении дают 1 по модулю 11. Также нашлись полезные тройки чисел, дающие произведение 1 по модулю 11, например (2,8,9).
- После ряда логических перестановок и проверок удалось найти конфигурацию, при которой все восемь произведений равны 1 (mod 11).

4. **Проверка результата:**
Проверим каждую линию для приведённого решения:

Квадрат:
```
(1,1)=8 (1,2)=3 (1,3)=6
(2,1)=9 (2,2)=1 (2,3)=5
(3,1)=2 (3,2)=4 (3,3)=7
```

- Строки:
- R1: 8*3*6 = 8*3=24 ≡ 2 (mod11), 2*6=12 ≡ 1 (mod11)
- R2: 9*1*5 = 9*5=45 ≡ 1 (mod11)
- R3: 2*4*7 = 2*4=8, 8*7=56 ≡ 1 (mod11)

- Столбцы:
- C1: 8*9*2 = 8*9=72 ≡ 6 (mod11), 6*2=12 ≡ 1 (mod11)
- C2: 3*1*4 = 3*4=12 ≡ 1 (mod11)
- C3: 6*5*7 = 6*5=30 ≡ 8 (mod11), 8*7=56 ≡ 1 (mod11)

- Диагонали:
- D1: 8*1*7 = 8*7=56 ≡ 1 (mod11)
- D2: 6*1*2 = 6*2=12 ≡ 1 (mod11)

Все восемь произведений дают остаток 1 по модулю 11.

Таким образом, без вычислительной техники мы отыскали пример «условно-магического» квадрата, удовлетворяющий условию задачи.

Автор:  MihailM [ Сегодня, 14:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками

tomtitsin писал(а):
Для нахождения чего другого надо прогу сочинять

Других случаев и нет!

Автор:  Avgust [ Сегодня, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками

Xenia1996
Как это Вы "без вычислительной техники" выдали такие тройки:
8 3 6
9 1 5
2 4 7

???

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/