| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=84188 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Xenia1996 [ Сегодня, 01:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками |
Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, расставьте в клетках таблицы [math]3\times 3[/math] цифры от 1 до 9 (чтобы каждая встречалась ровно 1 раз) так, чтобы произведение цифр в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей давало один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число [math]n.[/math] |
|
| Автор: | tomtitsin [ Сегодня, 10:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками |
сам не допёр. Пришлось разбудить Алину (Воцапом, не подумайте чего )Она сказала, что искать по модулю меньше 10 бесполезно. Нули. А лучше по модулю простому. Типа 11. Я умоюсь, а ты кофе свари. Карочи, ищи произведения типа 12, 45, 56. Они как раз. Я единичку поставил в центр и не особо долго думая (чего и не умею) расставил на бумажке, и даже кофка не убежала. (Говорят, мальчикам сейчас так надо её называть, а девочкам свобода. Они даже <cns> называют — он). 2 4 7 9 1 5 8 3 6 Остатки произведений все 1 по модулю 11. С точностью до поворотов и отражений. Для нахождения чего другого надо прогу сочинять. Не велено. Несу, несу! |
|
| Автор: | Xenia1996 [ Сегодня, 11:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками |
tomtitsin Большое спасибо! Любопытно, что ИИ тоже справился. Причём думал он всего одну минуту и 44 секунды: https://chatgpt.com/share/675391d4-e2e0 ... 4a15f753b5 Цитата: **Краткий итог решения:**
Ниже приведён один из возможных вариантов расстановки цифр от 1 до 9 в квадрат 3×3, при котором произведение чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали даёт один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число n. Конкретно, в данном решении получается, что при n = 11 все восемь произведений дают остаток 1. **Найденный пример решения:** ``` 8 3 6 9 1 5 2 4 7 ``` **Пояснения к решению:** 1. **Постановка задачи:** Нужно расставить цифры 1–9 по клеткам 3×3 так, чтобы произведения чисел в 3 строках, 3 столбцах и 2 диагоналях давали одинаковый ненулевой остаток по модулю некоторого натурального числа n. 2. **Выбор модуля:** Если взять n = 11 (простое число, большее 9), то никакая отдельная цифра 1–9 не будет давать нулевой остаток по модулю 11. Это упрощает задачу, так как нулевые произведения легко исключить. Нам нужно, чтобы все 8 произведений были конгруэнтны одному и тому же ненулевому числу по модулю 11. 3. **Обоснование построения:** - Центр квадрата взят равным 1. Так упрощается условие для диагоналей и средних линии (центральной строки и центрального столбца), так как наличие 1 не меняет произведения по модулю. - Подбор чисел в углах и на краях осуществлялся на основе свойств обратимых элементов по модулю 11. Пары чисел (2 и 6), (3 и 4), (5 и 9), (7 и 8) при умножении дают 1 по модулю 11. Также нашлись полезные тройки чисел, дающие произведение 1 по модулю 11, например (2,8,9). - После ряда логических перестановок и проверок удалось найти конфигурацию, при которой все восемь произведений равны 1 (mod 11). 4. **Проверка результата:** Проверим каждую линию для приведённого решения: Квадрат: ``` (1,1)=8 (1,2)=3 (1,3)=6 (2,1)=9 (2,2)=1 (2,3)=5 (3,1)=2 (3,2)=4 (3,3)=7 ``` - Строки: - R1: 8*3*6 = 8*3=24 ≡ 2 (mod11), 2*6=12 ≡ 1 (mod11) - R2: 9*1*5 = 9*5=45 ≡ 1 (mod11) - R3: 2*4*7 = 2*4=8, 8*7=56 ≡ 1 (mod11) - Столбцы: - C1: 8*9*2 = 8*9=72 ≡ 6 (mod11), 6*2=12 ≡ 1 (mod11) - C2: 3*1*4 = 3*4=12 ≡ 1 (mod11) - C3: 6*5*7 = 6*5=30 ≡ 8 (mod11), 8*7=56 ≡ 1 (mod11) - Диагонали: - D1: 8*1*7 = 8*7=56 ≡ 1 (mod11) - D2: 6*1*2 = 6*2=12 ≡ 1 (mod11) Все восемь произведений дают остаток 1 по модулю 11. Таким образом, без вычислительной техники мы отыскали пример «условно-магического» квадрата, удовлетворяющий условию задачи. |
|
| Автор: | MihailM [ Сегодня, 14:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками |
tomtitsin писал(а): Для нахождения чего другого надо прогу сочинять Других случаев и нет! |
|
| Автор: | Avgust [ Сегодня, 19:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками |
Xenia1996 Как это Вы "без вычислительной техники" выдали такие тройки: 8 3 6 9 1 5 2 4 7 ??? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|