Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
СообщениеДобавлено: Сегодня, 01:48 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 865
Cпасибо сказано: 896
Спасибо получено:
144 раз в 131 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, расставьте в клетках таблицы [math]3\times 3[/math] цифры от 1 до 9 (чтобы каждая встречалась ровно 1 раз) так, чтобы произведение цифр в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей давало один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число [math]n.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xenia1996 "Спасибо" сказали:
MihailM
 Заголовок сообщения: Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
СообщениеДобавлено: Сегодня, 10:16 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 июн 2024, 08:09
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
251 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
сам не допёр. Пришлось разбудить Алину (Воцапом, не подумайте чего :oops: )
Она сказала, что искать по модулю меньше 10 бесполезно. Нули. А лучше по модулю простому. Типа 11. Я умоюсь, а ты кофе свари. Карочи, ищи произведения типа 12, 45, 56. Они как раз.
Я единичку поставил в центр и не особо долго думая (чего и не умею) расставил на бумажке, и даже кофка не убежала. (Говорят, мальчикам сейчас так надо её называть, а девочкам свобода. Они даже <cns> называют — он).
2 4 7
9 1 5
8 3 6
Остатки произведений все 1 по модулю 11.
С точностью до поворотов и отражений. Для нахождения чего другого надо прогу сочинять. Не велено. Несу, несу!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю tomtitsin "Спасибо" сказали:
MihailM, Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
СообщениеДобавлено: Сегодня, 11:52 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 865
Cпасибо сказано: 896
Спасибо получено:
144 раз в 131 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tomtitsin
Большое спасибо!
Любопытно, что ИИ тоже справился. Причём думал он всего одну минуту и 44 секунды:

https://chatgpt.com/share/675391d4-e2e0 ... 4a15f753b5

Цитата:
**Краткий итог решения:**
Ниже приведён один из возможных вариантов расстановки цифр от 1 до 9 в квадрат 3×3, при котором произведение чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали даёт один и тот же ненулевой остаток при делении на некоторое натуральное число n. Конкретно, в данном решении получается, что при n = 11 все восемь произведений дают остаток 1.

**Найденный пример решения:**

```
8 3 6
9 1 5
2 4 7
```

**Пояснения к решению:**

1. **Постановка задачи:**
Нужно расставить цифры 1–9 по клеткам 3×3 так, чтобы произведения чисел в 3 строках, 3 столбцах и 2 диагоналях давали одинаковый ненулевой остаток по модулю некоторого натурального числа n.

2. **Выбор модуля:**
Если взять n = 11 (простое число, большее 9), то никакая отдельная цифра 1–9 не будет давать нулевой остаток по модулю 11. Это упрощает задачу, так как нулевые произведения легко исключить. Нам нужно, чтобы все 8 произведений были конгруэнтны одному и тому же ненулевому числу по модулю 11.

3. **Обоснование построения:**
- Центр квадрата взят равным 1. Так упрощается условие для диагоналей и средних линии (центральной строки и центрального столбца), так как наличие 1 не меняет произведения по модулю.
- Подбор чисел в углах и на краях осуществлялся на основе свойств обратимых элементов по модулю 11. Пары чисел (2 и 6), (3 и 4), (5 и 9), (7 и 8) при умножении дают 1 по модулю 11. Также нашлись полезные тройки чисел, дающие произведение 1 по модулю 11, например (2,8,9).
- После ряда логических перестановок и проверок удалось найти конфигурацию, при которой все восемь произведений равны 1 (mod 11).

4. **Проверка результата:**
Проверим каждую линию для приведённого решения:

Квадрат:
```
(1,1)=8 (1,2)=3 (1,3)=6
(2,1)=9 (2,2)=1 (2,3)=5
(3,1)=2 (3,2)=4 (3,3)=7
```

- Строки:
- R1: 8*3*6 = 8*3=24 ≡ 2 (mod11), 2*6=12 ≡ 1 (mod11)
- R2: 9*1*5 = 9*5=45 ≡ 1 (mod11)
- R3: 2*4*7 = 2*4=8, 8*7=56 ≡ 1 (mod11)

- Столбцы:
- C1: 8*9*2 = 8*9=72 ≡ 6 (mod11), 6*2=12 ≡ 1 (mod11)
- C2: 3*1*4 = 3*4=12 ≡ 1 (mod11)
- C3: 6*5*7 = 6*5=30 ≡ 8 (mod11), 8*7=56 ≡ 1 (mod11)

- Диагонали:
- D1: 8*1*7 = 8*7=56 ≡ 1 (mod11)
- D2: 6*1*2 = 6*2=12 ≡ 1 (mod11)

Все восемь произведений дают остаток 1 по модулю 11.

Таким образом, без вычислительной техники мы отыскали пример «условно-магического» квадрата, удовлетворяющий условию задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xenia1996 "Спасибо" сказали:
tomtitsin
 Заголовок сообщения: Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
СообщениеДобавлено: Сегодня, 14:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6807
Cпасибо сказано: 189
Спасибо получено:
1144 раз в 1072 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tomtitsin писал(а):
Для нахождения чего другого надо прогу сочинять

Других случаев и нет!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
tomtitsin
 Заголовок сообщения: Re: Условно-магический квадрат с одинаковыми остатками
СообщениеДобавлено: 8 минут назад 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13570
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1292
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xenia1996
Как это Вы "без вычислительной техники" выдали такие тройки:
8 3 6
9 1 5
2 4 7

???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дьявольский магический квадрат 4х4

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Avgust

1

280

10 ноя 2021, 23:19

Магический квадрат спустя 700 лет

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Avgust

38

1086

10 ноя 2021, 13:56

Идеальный магический квадрат 9х9

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Avgust

3

1756

13 ноя 2021, 16:48

Только ассоциативный магический квадрат

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

0

520

15 янв 2017, 21:07

Магический квадрат из 2-х диагональных судоку

в форуме Размышления по поводу и без

AndreyV87

0

158

06 дек 2020, 20:37

Магический квадрат уровня Луны ( 9x9 )

в форуме Размышления по поводу и без

idon

9

1369

17 май 2018, 19:31

Магический квадрат и сфера Рамануджана

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

6

428

30 мар 2020, 21:52

Магический квадрат 4х4 с 36-ю магическими суммами

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

12

2116

20 окт 2019, 08:41

Простые числа-близнецы и магический квадрат 3х3

в форуме Объявления участников Форума

Nataly-Mak

2

1038

16 ноя 2015, 13:01

Я нашел магический квадрат 3 на 3, где все числа - квадраты

в форуме Размышления по поводу и без

iggour

2

509

03 янв 2019, 16:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Avgust и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved