Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 01 июн 2024, 15:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2665
Cпасибо сказано: 364
Спасибо получено:
1082 раз в 988 сообщениях
Очков репутации: 341

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока мою предыдущую задачу в https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=82195 все типа игнорируют, вот, придумалась пара похожих задачек рекреационного характера. Они из того же раздела геометрии, что и упомянутая предыдущая. Это дальнее родство, может быть, послужит каким-то намёком на то, "в каком поле надо копать" для решения упомянутой предыдущей.

__________________________________________________

1)
Два правильных семиугольника имеют одну общую вершину (см. 1й рис.). Две пары из их вершин соединены отрезками. Определить угол α между этими отрезками.

Изображение


______________________________________________________________________________________________________

2)
У вас имеется рисунок, на котором изображены два подобных произвольных пятиугольника (синий и зелёный), которые имеют одну общую вершину А (см. 2й рис. левую часть). Две пары из их вершин соединены чёрными отрезками СС_1 и DD_1. Затем зелёный 5-угольник и чёрные отрезки стирают, так что остаётся только синий 5-угольник. Имея возможность измерять любые характеристики оставшегося синего 5-угольника, вам надо определить, какой был угол α между двумя чёрными отрезками при условии, что вы помните изначальный рисунок.

Изображение


______________________________________
П.С. То, что выбраны именно пятиугольники, не принципиально. Бонусом можно обобщить и на произвольный n-угольник.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda, Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 03 июн 2024, 19:08 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 570
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
174 раз в 155 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Рассмотрим частный случай первой задачи. Пусть две окружности имеют только одну общую точку, точку А, при этом касание внешнее. В каждую окружность вписан правильный семиугольник так, что одна из его вершин совпадает с точкой А. Тогда нетрудно получить, что искомый угол [math]\alpha ,[/math] построенный как в первой задаче, будет равен [math]\frac{ 3 \pi }{ 7} .[/math]

Если один из семиугольников повернуть на некоторый угол вокруг точки А, то искомый угол [math]\alpha[/math] от этого не изменится. Простого доказательства этого у меня нет. Предполагаю, что простое доказательство есть у ferma-T.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 04 июн 2024, 05:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2665
Cпасибо сказано: 364
Спасибо получено:
1082 раз в 988 сообщениях
Очков репутации: 341

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
Если один из семиугольников повернуть на некоторый угол вокруг точки А, то искомый угол α от этого не изменится.

Это - верное утверждение! И это - одно из многочисленных и ИМХО красивых геометрических явлений, очаровывающих истинных любителей геометрии.


Boris Skovoroda писал(а):
Простого доказательства этого у меня нет. Предполагаю, что простое доказательство есть

Я тоже поначалу не знал, как доказать по-простому. Ясно, что всякими там теоремами синусов-косинусов это, так или иначе, можно сделать, но очень громоздко. Но потом мне повезло и осенило, и увидел очень простое чисто геометрическое док-во. Оно настолько простое, что его можно даже просто словами описать в пару строк и заодно и всю задачу решить. И даже не надо ничего "поворачивать" и никаких "частных случаев" использовать - всё делается в лоб для произвольного случая. Ну, это я уже невольно опять начинаю подсказывать. И сорри за излишнюю неуместную эмоциональность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 05 июн 2024, 00:10 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 570
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
174 раз в 155 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
не надо ничего "поворачивать" и никаких "частных случаев" использовать - всё делается в лоб для произвольного случая

Вы правы. Геометрическое решение довольно простое. Я воспользовался вашим первым рисунком. Проведём окружности, в которые вписаны данные семиугольники. Пусть эти окружности пересекаются в двух точках А и В. Точка А - это общая вершина семиугольников. Нетрудно доказать, что точка В совпадает с точкой пересечения проведённых отрезков MN и PQ. После этого сразу получаем, что искомый угол [math]\alpha[/math] будет равен [math]\frac{ 3 \pi }{ 7}.[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 05 июн 2024, 08:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2665
Cпасибо сказано: 364
Спасибо получено:
1082 раз в 988 сообщениях
Очков репутации: 341

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за интересное и более менее простое док-во!

Boris Skovoroda писал(а):
Нетрудно доказать, что точка В совпадает с точкой пересечения проведённых отрезков MN и PQ.

Наверное, не трудно. Но, всё же, это не абсолютно очевидно. Поэтому позвольте мне, на всякий случай, доказать эту лемму о совпадении точки В на окружностях с пересечением отрезков для вашего решения.

Я не знаю, как вы это доказывали бы, может быть, проще, но я доказывал бы типа так.

Докажем, что луч из любой вершины одного семиугольника, проходящий через точку В пересечения описанных окружностей, проходит через соотв. вершину второго 7-угольника. Для этого возьмём произвольную вершину L и соотв. ей вершину N. Проведём отрезки LB и NB и покажем, что угол между LB и NB = 180°. Вписанный угол LBA опирается на диагональ LA со стороны бОльшего вписаного угла. А вписанный угол ABN опирается на аналогичную диагональ AN с противоположной стороны. Значит их сумма = 180° и значит отрезки LB и NB лежат на одной прямой.

Изображение

===================================================================================

Однако моё решение, ИМХО, всё же попроще будет. В нём ничего промежуточного и не сходу очевидного доказывать не надо. Окружности я не строил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 05 июн 2024, 10:46 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 570
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
174 раз в 155 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Я не знаю, как вы это доказывали бы, может быть, проще

Нет, моё доказательство не проще. Я даже собирался его написать, для этого на моём рисунке изображены отрезки АВ и АN. Кратко это доказательство такое: через точки М и В проводим прямую, которая пересекает вторую окружность в некоторой точке N; поскольку угол АВМ равен сумме углов BAN и ANB, то точка N будет вершиной семиугольника. Уже хотелось спать и я не написал это доказательство. Зато я узнал ваше доказательство, которое мне нравится больше.

ferma-T писал(а):
Однако моё решение, ИМХО, всё же попроще будет. В нём ничего промежуточного и не сходу очевидного доказывать не надо. Окружности я не строил.

Я чувствовал, что окружности являются лишними, так как их я не могу использовать при решении второй задачи. Пятиугольники там произвольные. И хотя ответ напрашивается (угол [math]\alpha[/math] равен углу CAD), нужно искать ваше более простое доказательство.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 05 июн 2024, 11:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2665
Cпасибо сказано: 364
Спасибо получено:
1082 раз в 988 сообщениях
Очков репутации: 341

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
Я чувствовал, что окружности являются лишними, так как их я не могу использовать при решении второй задачи. Пятиугольники там произвольные.

Они не являются обязательно лишними. Во второй задаче вы тоже можете их использовать, хотя это и не обязательно (я не использовал).

Дело в том, что, хотя во второй задаче многоугольник и не правильный, но его вершины Е и В (и, соотв., Е1 и В1) вообще не при делах. Вы можете их сдвигать как угодно, можете пририсовывать ещё много новых вершин, а можете и вообще стереть. Если сотрёте, у вас останется просто треугольник CАD, и вы тоже можете описать вокруг него окружность. Собственно, то же самое вы можете сделать и с первой задачей.

Между 1) и 2) задачами разница лишь в том, что в первой задаче угол оставшегося (после стирания лишних вершин) треугольника заведомо известен, а во второй не известен и его надо измерять. 1) и 2) задачи суть одинаковые, и методы их решения тоже могут быть одинаковые. Ну, при желании, могут быть и разные, конечно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 09 июн 2024, 09:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1214
Cпасибо сказано: 298
Спасибо получено:
689 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решал подобное в "Занятных задачках". Не пропадать же добру:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Связанные подобные многоугольники
СообщениеДобавлено: 12 июн 2024, 16:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2665
Cпасибо сказано: 364
Спасибо получено:
1082 раз в 988 сообщениях
Очков репутации: 341

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
простое доказательство есть у ferma-T.

Li6-D писал(а):
Не пропадать же добру

Я вижу, что Li6-D использовал точно такой же подход в решении, что и я сам. Но, поскольку его рисунок относится к какой-то другой задаче из другой темы, и читателям этой темы решение Li6-D может быть не понятно, я, всё же, приведу своё. Не пропадать же добру.

===============================================================================

Решение задачи 1).

На вершинах, из которых выходят отрезки, и на общей точке построим два треугольника - бурый и полосатый. Они будут конгруэнтные по равенству двух сторон и углу между ними. Равенство их сторон очевидно. А насчёт их углов ε и γ при общей вершине, каждый из них состоит из трёх углов: 1) опирающегося на 4 сегмента, 2) ß и 3) опирающегося на 1 сегмент, и поэтому ε = γ. Раз треугольники конгруэнтные, то их равные стороны всегда образуют между собой равные углы, поэтому α = φ.

Изображение
___________________________________________________________________________


Решение задачи 2) аналогично, только там получаются не конгруэнтные тр-ки, а подобные, что не влияет на равенство углов между соответствующими сторонами фиолетового и полосатого тр-ков.

Изображение


==========================================================

Теперь, когда эта задача решена, уже не должно быть сложно решить, наконец, изначальную задачу в https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=82195 .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Многоугольники

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

samorez

5

358

04 май 2015, 19:36

Многоугольники

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

samorez

0

248

04 май 2015, 19:33

Многоугольники

в форуме Геометрия

vinandr

2

646

13 янв 2015, 22:57

Шар.Сфера.Многоугольники

в форуме Геометрия

WorldWild

5

323

10 окт 2016, 08:48

Сферические многоугольники

в форуме Геометрия

Rawitj

18

459

24 июн 2020, 13:18

Решетки и правильные многоугольники

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

sdmitrova

0

306

30 май 2017, 19:51

В формуле указать свободные и связанные переменные

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Miradl

1

138

30 ноя 2020, 15:35

Задачка с лотторей 5x35 (связанные события)

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

YTigiev

12

995

04 янв 2021, 11:32

В формуле указать свободные и связанные переменные

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

eld

0

160

13 дек 2021, 06:26

Связанные полиномы четвёртой степени - полные квадраты

в форуме Теория чисел

3axap

2

230

17 ноя 2020, 13:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved