Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 01 дек 2022, 16:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока народ уже давно построил, но стесняется показать своё построение для "схемы и идеи решения задачи" от Буратины в теме
viewtopic.php?f=54&t=78673 ,
предлагаю это построение вынести как отдельную задачу (тем более, что это ещё много, где может пригодиться):


Даны три точки, которые являются, соответственно, (слева направо) фокусом, центром и вершиной ненарисованного эллипса (см. рис.).
Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную зелёной прямой, проведя не более, чем 6 линий, считая и саму искомую касательную.


П.С. Фокус и вершина даны только по одному(-ой), причём могут быть или слева, или справа от центра. Линией считается прямая, отрезок, окружность, дуга.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 05 дек 2022, 17:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Boris Skovoroda, который, наверное, единственный, кто проявил хоть какой-то интерес к этой интересной, на мой взгляд, задаче. Интерес Boris Skovoroda выразился в виде пессимизма, что за 6 линий построить невозможно. Позвольте спросить, ув. Boris Skovoroda, вы имели ввиду, что, вот если бы 7 линий, а не 6 - тогда другое дело? Или вы имели ввиду, что там намного больше нужно, порядка нескольких десятков линий?

Упреждая ваш очевидный ответ, подскажу, что если решать классически через растягивание эллипса в круг и пропорциональное тому "растягивание" (поворачивание) зелёной линиии, то да, там очень много линий нужно. Но если знать одну фишку, то 6 достаточно. Ну, максимум 7 для неумек.

Кстати, использовать эту фишку просто как факт и без доказательства - тривиально. Также легко и обнаружить её, как я сам её когда-то обнаружил. А вот доказать эту фишку - это тоже сама по себе интересная задача.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 06 дек 2022, 12:57 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Или вы имели ввиду, что там намного больше нужно, порядка нескольких десятков линий?

Да, мне понадобилось 16 линий. Отсюда и происходит мой пессимизм. Я написал каноническое уравнение эллипса [math]\frac{ x^{2} }{ a^{2}}+ \frac{ y^{2} }{ b^{2} }=1.[/math] Потом нашёл уравнение касательной с заданным угловым коэффициентом [math]y=kx+l,[/math] где [math]l=\sqrt{a^{2}k^{2}+b^{2} }.[/math] Провёл прямую через центр и вершину эллипса, построил на этой прямой отрезок длиной [math]l[/math] так, что один из его концов совпадал с центром эллипса, а через другой конец этого отрезка построил прямую параллельную данной. Скорее всего не всё было оптимально, но до 6 линий было далеко.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 06 дек 2022, 15:15 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Исправляю допущенную ошибку: "построил на этой прямой отрезок длиной [math]l\slash k[/math] ".



Последний раз редактировалось Boris Skovoroda 06 дек 2022, 15:47, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 06 дек 2022, 15:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
Отсюда и происходит мой пессимизм.

Да, ваше решение, хоть и не геометрическое классическое, которое описал я, но аналитическое типа классическое. Аналитические решения, как мне кажется, вряд ли дадут возможность заметить какую-либо фишку типа лайфхака. Разве что только если усиленно преобразовывать формулы, стараясь привести их к какому-нибудь интересному виду. В геометрических рисованиях - наоборот, бывает достаточно удачно нарисовать одну линию, и увидеть, что она проходит через какую-то уже имеющуюся точку, или даёт нам очень удобную новую точку в пересечении с чем-либо. Правда потом, строгости ради, это построение ещё нужно будет доказать.
Но ваше аналитическое решение законное, и аналитические решения и построения, основанные на них, уже не нужно доказывать, ибо доказательство уже содержится в самом выводе формулы. Поэтому вам Спасибо и подсказка для решения в 6 линий. Это даже не подсказка, а вполне очевидный первый ход (поэтому я даже не буду его прятать в "Спойлер") - нарисуйте окружность, описывающую ненарисованный эллипс (эллипс, конечно, не помешает и нарисовать, просто не нужно в явном виде использовать его при решении). Эта окружность потом даст пересечение кое с чем. И точка этого пересечения приведёт к ответу.

Boris Skovoroda писал(а):
Исправляю допущенную ошибку: "построил на этой прямой отрезок длиной l/k"

Я заметил у вас там некоторую странность. Пытаясь её понять, я увидел, что ваш предыдущий текст "Провёл прямую через центр и вершину эллипса, построил на этой прямой отрезок длиной l" будет верен, если иметь в виду что под "вершиной эллипса" вы имели ввиду не заданную в условии вершину, а ковершину (по направлению b).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 09 дек 2022, 15:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную зелёной прямой, проведя не более, чем 6 линий

Тут синьор Буратино намекнул, что неплохо было бы, кроме касательной, ещё и точку касания построить. Засим предлагаю второй, расширенный вариант этой задачи:

Даны три точки, которые являются, соответственно, (слева направо) фокусом, центром и вершиной ненарисованного эллипса (см. рис.).
Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную произвольной зелёной прямой, а также точку касания этой касательной, проведя не более, чем 9 линий.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 10 дек 2022, 16:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вариант гарантированного построения с 8 = 1 + 4 + 3 линиями:
Изображение
Сначала проводим окружность с центром в центре эллипса С и проходящую через вершину V - это одна линия.
Проводим перпендикуляр из фокуса F к заданной прямой p, для чего, в общем случае, придется построить три вспомогательные окружности - еще четыре линии.
Через одну из точек пересечения перпендикуляра с окружностью проводим искомую касательную параллельно p (плюс еще две вспомогательные окружности и параллельная) - еще три линии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 10 дек 2022, 17:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Вариант гарантированного построения с 8 = 1 + 4 + 3 линиями:

Браво, Li6-D! Наконец-то кто-то нашел эту фишку! Но почему у вас реализация этой фишки через какие-то детские построения? Это не солидно для такого монстра рисовательной геометрии, как вы. Ну, я знал, что на последнем этапе построения самой последней прямой (искомой касательной) народ лоханётся и потратит три линии на это, вместо двух. Но строить орт из точки F за 4 линии?!?!?!.

Короче, с вас довести до ума ваше решение и сделать его в 6 линий. А также - обосновать эту фишку. Она обосновывается весьма легко на уровне 7 класса + знание пары основных геометрических свойств эллипса. Ну, а потом - самая малость останется: построить ещё и точку касания в сумме за 9 линий. Там уже на поверхности. И главный ваш личный бонус будет (кроме моих жидких бурных аплодисментов), что вы после этого допрёте, как решать мою заброшенную задачу про шест под верёвкой без эллипса имени Буратины всего в 9 линий (именно совсем без эллипса, на базе других соображений).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 10 дек 2022, 18:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T, это видимо я утомился.
И так первая зелёная окружность построена.
Орт строим с двумя вспомогательными окружностями, центры которых лежат на заданной прямой и которые проходят через F. Искомый перпендикуляр проходит через точки пересечения окружностей (+ три линии) .
Когда построен перпендикуляр, соединим прямой вторую его точку P' пересечения с первой построенной окружностью с центром C (+ одна линия).
Прямая пересечёт окружность в точке Р'' диаметрально противоположной P'.
Осталось провести искомую касательную к эллипсу через P и P'' (+ одна линия).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Построить касательную с заданным направлением к эллипсу
СообщениеДобавлено: 10 дек 2022, 18:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Осталось провести искомую касательную к эллипсу через P и P'' (+ одна линия).

У кого-то "шестисотый Мерседесс", а я вам шестисотый лайк поставил - для меня это большая честь. Но, впереди ещё есть, что делать. После некоторого отдыха.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построить биссектрису с заданным направлением

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

ferma-T

12

742

21 ноя 2022, 15:46

Как построить кривую и касательную?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

352

27 янв 2016, 06:49

Построить матрицу по заданным коэффициентам

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alexey Silver

0

218

05 апр 2017, 12:06

Касательные к эллипсу (Цубербиллер #404)

в форуме Геометрия

Rules

4

885

19 май 2016, 21:18

Точка пересечения особенных касательных к эллипсу

в форуме Геометрия

Glotov1

8

381

08 ноя 2021, 16:03

Задачка про касательную

в форуме Геометрия

chebo

5

303

08 ноя 2021, 17:56

Найдите касательную

в форуме Геометрия

Akirachin1

9

737

09 май 2014, 17:23

Задачи на касательную (вступительные в ИТМО)

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

erudite

12

698

03 июл 2016, 00:03

Найти касательную и нормальную плоскость к кривой

в форуме Дифференциальное исчисление

MathSamurai

2

156

30 июн 2022, 21:05

Гипербола, её уравнение через касательную и точку

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

tailorian2002

1

580

26 ноя 2019, 19:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved