Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ferma-T |
|
|
viewtopic.php?f=54&t=78673 , предлагаю это построение вынести как отдельную задачу (тем более, что это ещё много, где может пригодиться): Даны три точки, которые являются, соответственно, (слева направо) фокусом, центром и вершиной ненарисованного эллипса (см. рис.). Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную зелёной прямой, проведя не более, чем 6 линий, считая и саму искомую касательную. П.С. Фокус и вершина даны только по одному(-ой), причём могут быть или слева, или справа от центра. Линией считается прямая, отрезок, окружность, дуга. |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
Спасибо Boris Skovoroda, который, наверное, единственный, кто проявил хоть какой-то интерес к этой интересной, на мой взгляд, задаче. Интерес Boris Skovoroda выразился в виде пессимизма, что за 6 линий построить невозможно. Позвольте спросить, ув. Boris Skovoroda, вы имели ввиду, что, вот если бы 7 линий, а не 6 - тогда другое дело? Или вы имели ввиду, что там намного больше нужно, порядка нескольких десятков линий?
Упреждая ваш очевидный ответ, подскажу, что если решать классически через растягивание эллипса в круг и пропорциональное тому "растягивание" (поворачивание) зелёной линиии, то да, там очень много линий нужно. Но если знать одну фишку, то 6 достаточно. Ну, максимум 7 для неумек. Кстати, использовать эту фишку просто как факт и без доказательства - тривиально. Также легко и обнаружить её, как я сам её когда-то обнаружил. А вот доказать эту фишку - это тоже сама по себе интересная задача. |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
ferma-T писал(а): Или вы имели ввиду, что там намного больше нужно, порядка нескольких десятков линий? Да, мне понадобилось 16 линий. Отсюда и происходит мой пессимизм. Я написал каноническое уравнение эллипса [math]\frac{ x^{2} }{ a^{2}}+ \frac{ y^{2} }{ b^{2} }=1.[/math] Потом нашёл уравнение касательной с заданным угловым коэффициентом [math]y=kx+l,[/math] где [math]l=\sqrt{a^{2}k^{2}+b^{2} }.[/math] Провёл прямую через центр и вершину эллипса, построил на этой прямой отрезок длиной [math]l[/math] так, что один из его концов совпадал с центром эллипса, а через другой конец этого отрезка построил прямую параллельную данной. Скорее всего не всё было оптимально, но до 6 линий было далеко. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
Boris Skovoroda |
|
|
Исправляю допущенную ошибку: "построил на этой прямой отрезок длиной [math]l\slash k[/math] ". Последний раз редактировалось Boris Skovoroda 06 дек 2022, 15:47, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
Boris Skovoroda писал(а): Отсюда и происходит мой пессимизм. Да, ваше решение, хоть и не геометрическое классическое, которое описал я, но аналитическое типа классическое. Аналитические решения, как мне кажется, вряд ли дадут возможность заметить какую-либо фишку типа лайфхака. Разве что только если усиленно преобразовывать формулы, стараясь привести их к какому-нибудь интересному виду. В геометрических рисованиях - наоборот, бывает достаточно удачно нарисовать одну линию, и увидеть, что она проходит через какую-то уже имеющуюся точку, или даёт нам очень удобную новую точку в пересечении с чем-либо. Правда потом, строгости ради, это построение ещё нужно будет доказать. Но ваше аналитическое решение законное, и аналитические решения и построения, основанные на них, уже не нужно доказывать, ибо доказательство уже содержится в самом выводе формулы. Поэтому вам Спасибо и подсказка для решения в 6 линий. Это даже не подсказка, а вполне очевидный первый ход (поэтому я даже не буду его прятать в "Спойлер") - нарисуйте окружность, описывающую ненарисованный эллипс (эллипс, конечно, не помешает и нарисовать, просто не нужно в явном виде использовать его при решении). Эта окружность потом даст пересечение кое с чем. И точка этого пересечения приведёт к ответу. Boris Skovoroda писал(а): Исправляю допущенную ошибку: "построил на этой прямой отрезок длиной l/k" Я заметил у вас там некоторую странность. Пытаясь её понять, я увидел, что ваш предыдущий текст "Провёл прямую через центр и вершину эллипса, построил на этой прямой отрезок длиной l" будет верен, если иметь в виду что под "вершиной эллипса" вы имели ввиду не заданную в условии вершину, а ковершину (по направлению b). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda |
||
ferma-T |
|
|
ferma-T писал(а): Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную зелёной прямой, проведя не более, чем 6 линий Тут синьор Буратино намекнул, что неплохо было бы, кроме касательной, ещё и точку касания построить. Засим предлагаю второй, расширенный вариант этой задачи: Даны три точки, которые являются, соответственно, (слева направо) фокусом, центром и вершиной ненарисованного эллипса (см. рис.). Требуется ЦиЛ построить касательную (одну из двух) к этому эллипсу, параллельную произвольной зелёной прямой, а также точку касания этой касательной, проведя не более, чем 9 линий. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Вариант гарантированного построения с 8 = 1 + 4 + 3 линиями:
Сначала проводим окружность с центром в центре эллипса С и проходящую через вершину V - это одна линия. Проводим перпендикуляр из фокуса F к заданной прямой p, для чего, в общем случае, придется построить три вспомогательные окружности - еще четыре линии. Через одну из точек пересечения перпендикуляра с окружностью проводим искомую касательную параллельно p (плюс еще две вспомогательные окружности и параллельная) - еще три линии. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Вариант гарантированного построения с 8 = 1 + 4 + 3 линиями: Браво, Li6-D! Наконец-то кто-то нашел эту фишку! Но почему у вас реализация этой фишки через какие-то детские построения? Это не солидно для такого монстра рисовательной геометрии, как вы. Ну, я знал, что на последнем этапе построения самой последней прямой (искомой касательной) народ лоханётся и потратит три линии на это, вместо двух. Но строить орт из точки F за 4 линии?!?!?!. Короче, с вас довести до ума ваше решение и сделать его в 6 линий. А также - обосновать эту фишку. Она обосновывается весьма легко на уровне 7 класса + знание пары основных геометрических свойств эллипса. Ну, а потом - самая малость останется: построить ещё и точку касания в сумме за 9 линий. Там уже на поверхности. И главный ваш личный бонус будет (кроме моих |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
ferma-T, это видимо я утомился.
И так первая зелёная окружность построена. Орт строим с двумя вспомогательными окружностями, центры которых лежат на заданной прямой и которые проходят через F. Искомый перпендикуляр проходит через точки пересечения окружностей (+ три линии) . Когда построен перпендикуляр, соединим прямой вторую его точку P' пересечения с первой построенной окружностью с центром C (+ одна линия). Прямая пересечёт окружность в точке Р'' диаметрально противоположной P'. Осталось провести искомую касательную к эллипсу через P и P'' (+ одна линия). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Осталось провести искомую касательную к эллипсу через P и P'' (+ одна линия). У кого-то "шестисотый Мерседесс", а я вам шестисотый лайк поставил - для меня это большая честь. Но, впереди ещё есть, что делать. После некоторого отдыха. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Построить биссектрису с заданным направлением | 12 |
742 |
21 ноя 2022, 15:46 |
|
Как построить кривую и касательную?
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
352 |
27 янв 2016, 06:49 |
|
Построить матрицу по заданным коэффициентам
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
218 |
05 апр 2017, 12:06 |
|
Касательные к эллипсу (Цубербиллер #404)
в форуме Геометрия |
4 |
885 |
19 май 2016, 21:18 |
|
Точка пересечения особенных касательных к эллипсу
в форуме Геометрия |
8 |
381 |
08 ноя 2021, 16:03 |
|
Задачка про касательную
в форуме Геометрия |
5 |
303 |
08 ноя 2021, 17:56 |
|
Найдите касательную
в форуме Геометрия |
9 |
737 |
09 май 2014, 17:23 |
|
Задачи на касательную (вступительные в ИТМО)
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
12 |
698 |
03 июл 2016, 00:03 |
|
Найти касательную и нормальную плоскость к кривой
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
156 |
30 июн 2022, 21:05 |
|
Гипербола, её уравнение через касательную и точку | 1 |
580 |
26 ноя 2019, 19:34 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |