Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 08:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У вас нарисованы две концентрические окружности без центра. С помощью одной линейки докажите, что с помощью этих двух окружностей и одной линейки вы можете произвести построение, позволяющее решить любую задачу, решаемую с помощью циркуля и линейки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 21:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
КОцентрические!)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 21:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
У вас нарисованы две концентрические окружности без центра. С помощью одной линейки докажите, что с помощью этих двух окружностей и одной линейки вы можете произвести построение, позволяющее решить любую задачу, решаемую с помощью циркуля и линейки.


:o :crazy: :crazy:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 22:20 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эта довольно старая задача подробно рассматривается в книге Радемахера Г. и Теплица О. "Числа и фигуры: опыты математического мышления" ... Там и для концентричных и для пересекающихся двух, вот только для трёх непересекающихся, по-моему, нету... Книжка, вообще, интересная, зачитаешься...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 20 авг 2022, 12:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для доказательства необходимо с помощью линейки построить общий центр окружностей.
Далее вступает в действие теорема Штейнера - Понселе, утверждающая, что любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен её центр.
Выберем точку P снаружи внутренней окружности и построим для неё т.н. поляру p – прямую (толстая и зелёная на рисунке), которая проходит через два конца отрезков касательных, проведённых из P к внутренней окружности.
Для построения поляры проведем 6 вспомогательных отрезков (красные и пунктирные), включая две произвольные секущие.
Пересечение p с внутренней окружностью даст две точки касания P1 и P2, равноудалённые от P.
Лучи PP1, PP2 пересекут наружную окружность ещё в двух равноудалённых от P точках T1 и T2.
В получившейся равнобочной трапеции P1P2T2T1 находим точку пересечения диагоналей Q.
Прямая PQ проходит через общий центр окружностей.
Если выполнить вышеописанное построение для другой точки P’ вне внутренней окружности (нет на рисунке), то найдем и другую прямую P’Q’, проходящую через центр.
Центр окружностей отметим на пересечении PQ и P’Q’.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 20 авг 2022, 15:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Для доказательства необходимо с помощью линейки построить общий центр окружностей.

Спасибо за проявленный интерес к задаче, помещённой мной, и за рисунок и подробное описание своего построения, и обоснование.

Моё решение по сути точно такое же. Единственное отличие - я не ставил ненужное ограничение на то, что полюс Р должен быть между окружностями - он может быть и снаружи обеих окружностей.

Изображение

У меня ещё есть вторая вариация этого решения - можно касательные не проводить, а, используя те же секущие, построить ещё поляру для того же полюса и для второй окружности. Эти две поляры будут основаниями трапеции.


Интересно заметить, что внутренняя окружность может выродиться в точку, и тогда этот более общий случай сведётся к окружности с центром.

И ещё, там насчёт той знаменитой теоремы - утверждается, что и целая окружность не нужна - теоретически достаточно даже сколь угодно малой дуги.

========================

Не смотря на то, что Dotsent заспойлерил, что это типа классическая задача, и поэтому её решать уже никому типа не надо, я выложу её ещё для случая двух пересекающихся окружностей без центров. Там, в смысле количества рисования, ещё легче - на три линии меньше рисовать для первой диаметральной прямой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 20 авг 2022, 18:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не возражает ferma-T, то в развитие темы предлагаю публике чуть более сложную модификацию этой задачи: вместо внутренней окружности нам даны три точки на ней.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Dotsent, ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 21 авг 2022, 05:13 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D

... Изображение
... что-то типа "Полярное св-во секущих" используем для построения полюса Р для поляры, проходящей через точки А и В, для чего строим поляры (синие линии) для двух полюсов на этой прямой (вне окружности), Р, по упомянутому св-ву, точка их пересечения... Касательные строим Вашим способом.

PS ...Прошу прощения за плохую картинку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Dotsent "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 21 авг 2022, 06:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Если не возражает ferma-T, то в развитие темы предлагаю публике чуть более сложную модификацию этой задачи: вместо внутренней окружности нам даны три точки на ней.

Спасибо за интересное развитие темы.
Вот моё решение вашей модификации задачи.

На первом рисунке - то, как я строил полюс для заданной поляры, проходящей через одну из пар заданных точек на меньшей окружности. Синяя и зеленые точки в форме треугольничка - произвольные.
На втором рисунке построение первой диаметральной прямой.
Вторая диаметральная прямая строится аналогично на другой паре заданных точек. Центр кругов - на пересечении диаметральных прямых.

Изображение Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Dotsent, Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Две концентрические окружности вместо циркуля
СообщениеДобавлено: 21 авг 2022, 08:27 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
Немножко поправил...
Изображение

ferma-T
Li6-D
Можно, следующую задачку без проективных преобразований? :) ... от этих ломаных башка трещит :%) ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Две пересекающиеся окружности вместо циркуля

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

ferma-T

7

379

20 авг 2022, 16:20

Концентрические окружности

в форуме Геометрия

sfanter

4

439

06 июл 2014, 12:42

Концентрические окружности и квадрат

в форуме Геометрия

Bonaqua

34

1759

19 апр 2015, 14:39

Цифры вместо букв

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

3axap

13

96

13 мар 2024, 12:01

Переход к x->oo (вместо x->пи/2). Второй замечательный

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lenta

4

565

20 июн 2014, 23:43

Вместо формул у меня показывается картинка

в форуме Предложения, Замечания, Обратная связь

mayer

31

2192

11 дек 2015, 23:34

Орган генетической информации вместо ядер клеток

в форуме Химия и Биология

dmitryturin

0

426

22 авг 2014, 14:35

Построение с помощью циркуля и линейки

в форуме Геометрия

melika

1

266

10 янв 2016, 22:08

Построение с помощью циркуля и линейки

в форуме Геометрия

melika

1

290

09 янв 2016, 17:23

Построение с помощью циркуля и линейки

в форуме Геометрия

melika

3

546

09 янв 2016, 23:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved