Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ferma-T |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
sergebsl |
|
|
КОцентрические!)
|
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
ferma-T писал(а): У вас нарисованы две концентрические окружности без центра. С помощью одной линейки докажите, что с помощью этих двух окружностей и одной линейки вы можете произвести построение, позволяющее решить любую задачу, решаемую с помощью циркуля и линейки. |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
▼
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Для доказательства необходимо с помощью линейки построить общий центр окружностей.
Далее вступает в действие теорема Штейнера - Понселе, утверждающая, что любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен её центр. Выберем точку P снаружи внутренней окружности и построим для неё т.н. поляру p – прямую (толстая и зелёная на рисунке), которая проходит через два конца отрезков касательных, проведённых из P к внутренней окружности. Для построения поляры проведем 6 вспомогательных отрезков (красные и пунктирные), включая две произвольные секущие. Пересечение p с внутренней окружностью даст две точки касания P1 и P2, равноудалённые от P. Лучи PP1, PP2 пересекут наружную окружность ещё в двух равноудалённых от P точках T1 и T2. В получившейся равнобочной трапеции P1P2T2T1 находим точку пересечения диагоналей Q. Прямая PQ проходит через общий центр окружностей. Если выполнить вышеописанное построение для другой точки P’ вне внутренней окружности (нет на рисунке), то найдем и другую прямую P’Q’, проходящую через центр. Центр окружностей отметим на пересечении PQ и P’Q’. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Для доказательства необходимо с помощью линейки построить общий центр окружностей. Спасибо за проявленный интерес к задаче, помещённой мной, и за рисунок и подробное описание своего построения, и обоснование. Моё решение по сути точно такое же. Единственное отличие - я не ставил ненужное ограничение на то, что полюс Р должен быть между окружностями - он может быть и снаружи обеих окружностей. У меня ещё есть вторая вариация этого решения - можно касательные не проводить, а, используя те же секущие, построить ещё поляру для того же полюса и для второй окружности. Эти две поляры будут основаниями трапеции. Интересно заметить, что внутренняя окружность может выродиться в точку, и тогда этот более общий случай сведётся к окружности с центром. И ещё, там насчёт той знаменитой теоремы - утверждается, что и целая окружность не нужна - теоретически достаточно даже сколь угодно малой дуги. ======================== Не смотря на то, что Dotsent заспойлерил, что это типа классическая задача, и поэтому её решать уже никому типа не надо, я выложу её ещё для случая двух пересекающихся окружностей без центров. Там, в смысле количества рисования, ещё легче - на три линии меньше рисовать для первой диаметральной прямой. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
Если не возражает ferma-T, то в развитие темы предлагаю публике чуть более сложную модификацию этой задачи: вместо внутренней окружности нам даны три точки на ней.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Dotsent, ferma-T |
||
Dotsent |
|
|
Li6-D
... ... что-то типа "Полярное св-во секущих" используем для построения полюса Р для поляры, проходящей через точки А и В, для чего строим поляры (синие линии) для двух полюсов на этой прямой (вне окружности), Р, по упомянутому св-ву, точка их пересечения... Касательные строим Вашим способом. PS ...Прошу прощения за плохую картинку. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Dotsent "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
ferma-T |
|
|
Li6-D писал(а): Если не возражает ferma-T, то в развитие темы предлагаю публике чуть более сложную модификацию этой задачи: вместо внутренней окружности нам даны три точки на ней. Спасибо за интересное развитие темы. Вот моё решение вашей модификации задачи. На первом рисунке - то, как я строил полюс для заданной поляры, проходящей через одну из пар заданных точек на меньшей окружности. Синяя и зеленые точки в форме треугольничка - произвольные. На втором рисунке построение первой диаметральной прямой. Вторая диаметральная прямая строится аналогично на другой паре заданных точек. Центр кругов - на пересечении диаметральных прямых. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Dotsent, Li6-D |
||
Dotsent |
|
|
ferma-T
Немножко поправил... ferma-T Li6-D Можно, следующую задачку без проективных преобразований? ... от этих ломаных башка трещит ... |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Две пересекающиеся окружности вместо циркуля | 7 |
379 |
20 авг 2022, 16:20 |
|
Концентрические окружности
в форуме Геометрия |
4 |
439 |
06 июл 2014, 12:42 |
|
Концентрические окружности и квадрат
в форуме Геометрия |
34 |
1759 |
19 апр 2015, 14:39 |
|
Цифры вместо букв | 13 |
96 |
13 мар 2024, 12:01 |
|
Переход к x->oo (вместо x->пи/2). Второй замечательный
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
565 |
20 июн 2014, 23:43 |
|
Вместо формул у меня показывается картинка | 31 |
2192 |
11 дек 2015, 23:34 |
|
Орган генетической информации вместо ядер клеток
в форуме Химия и Биология |
0 |
426 |
22 авг 2014, 14:35 |
|
Построение с помощью циркуля и линейки
в форуме Геометрия |
1 |
266 |
10 янв 2016, 22:08 |
|
Построение с помощью циркуля и линейки
в форуме Геометрия |
1 |
290 |
09 янв 2016, 17:23 |
|
Построение с помощью циркуля и линейки
в форуме Геометрия |
3 |
546 |
09 янв 2016, 23:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |