Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 22 июл 2015, 19:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt{\frac{ a }{ b+c } }+\sqrt{\frac{ b }{ c+a } }+\sqrt{\frac{ c }{ a+b } } >2 \quad a,b,c>0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 22 июл 2015, 19:57 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
AGN, andrei, Pirinchily, swan
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 23 июл 2015, 10:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Практически решение любого циклического неравенства заслуживает похвалы. Замечу только, что во второй части вы доказываете известную штуку о том, что среднее геометрическое больше среднего гармонического

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 23 июл 2015, 13:03 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, я знаю неравенство о среднем гармоническом. Просто оно как-то не особо встречается в задачах, поэтому решил написать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 23 июл 2015, 13:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот здесь есть несколько классических неравенств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 окт 2022, 12:41 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 926
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
363 раз в 341 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left(
\sqrt{\frac{a}{b+c}} +
\sqrt{\frac{b}{a+c}} +
\sqrt{ \frac{c}{a+b} } \right)
\left(
\sqrt{\frac{b+c}{a}} +
\sqrt{\frac{a+c}{b}} +
\sqrt{\frac{a+b}{c} } \right) \geqslant 3^2 = 9[/math]


[math]\sqrt{\frac{b+c}{a}} +
\sqrt{\frac{a+c}{b}} +
\sqrt{\frac{a+b}{c} }=
\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+
\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}+
\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}
\geqslant
\sqrt{2\sqrt{\frac{b}{a}\frac{c}{a}}}+
\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{b}\frac{c}{b}}}+
\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{c}\frac{b}{c}}} =[/math]


[math]\sqrt{\frac{2\sqrt{bc}}{a}}+
\sqrt{\frac{2\sqrt{\vphantom{b}ac}}{b}}+
\sqrt{\frac{2\sqrt{ab}}{c}}
\geqslant
3 \cdot \sqrt[3\,\,]{\sqrt{\frac{2\sqrt{bc}}{a}}
\sqrt{\frac{2\sqrt{\vphantom{b}ac}}{b}}
\sqrt{\frac{2\sqrt{ab}}{c}}} =
3 \cdot \sqrt[3\,\,]{\sqrt{8}} = 3\sqrt{2}
\quad \Rightarrow[/math]


[math]\left(
\sqrt{\frac{a}{b+c}}+
\sqrt{\frac{b}{a+c}}+
\sqrt{ \frac{c}{a+b}} \right) \cdot 3\sqrt{2}
\geqslant 9 \quad \Rightarrow \quad[/math]
[math]\sqrt{\frac{a}{b+c}} +
\sqrt{\frac{b}{a+c}} +
\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2} > 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали:
Pirinchily
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 окт 2022, 17:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Изображение
,
Надо отметить, что
по крайней мере одно из первых трёх неравенствах должно быть строго, так как, если [math]a,b,c> 0[/math] ,
то никак не можно быть одновременно :

[math]\frac{ a }{ b+c } = 1[/math] ;

[math]\frac{ b }{ c+a } = 1[/math] ;

[math]\frac{ c }{ a+b } = 1[/math] ;

От туда и получается строгоe неравенство :
[math]\sqrt{\frac{ a }{ b +c} } +\sqrt{\frac{ b }{ a +c} }+\sqrt{\frac{ c }{a+ b} } > 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать неравенство

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alesger

1

296

15 май 2016, 06:40

Доказать неравенство

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Boris Skovoroda

3

609

08 янв 2017, 11:50

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

290

28 окт 2015, 19:53

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

pavel19385638

1

376

14 окт 2015, 23:45

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jugalator

3

334

26 сен 2017, 17:48

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

chelovek466664

9

422

27 дек 2020, 17:34

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Zero

5

354

18 июн 2018, 17:20

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lvbealr

8

272

30 дек 2022, 15:18

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elbek

4

380

19 июл 2017, 10:38

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Amorah

3

465

10 июн 2017, 16:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved