Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: 12 авторских задач разной сложности
СообщениеДобавлено: 21 апр 2015, 10:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 окт 2014, 10:10
Сообщений: 48
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Начальный уровень.

№1. Условие: ромб ABCD с острым углом ABC; около треугольника ABC описана окружность;
проведены диагонали AC и BD. Окружность пересекает диагональ BD в точке K.

Доказать: прямая CK перпендикулярна стороне AD.

№2. Условие: прямоугольный треугольник ABC. ( угол B- прямой) .Биссектриса AD. Высота BE. Биссектрисы углов ABE и EBC- BF и BG соответственно. Они пересекают биссектрису AD в точках J и I соответственно.

Доказать: ΙΒ=IJ=IG=IE.

№3. Условие: около треугольника ABC описана окружность и середины дуг E, F,G, на которые её разбивают её вершины, попарно соединены. Биссектрисы треугольника ABC продолжены до этих точек. Точки пересечения сторон второго треугольника с ними K,L,M также попарно соединены и через отрезки KL, LM и KM проведены прямые.

Доказать, что они отсекают от сторон треугольника попарно три ромба.

№4. Условие: около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность, на дугах AC, AB и BC отмечены их середины B_1, C_1 и A_1 соответственно (при этом эти дуги содержат только две из трёх вершин треугольника каждая). Отрезок A_1B_1 пересекает отрезок BC в точке D.
Всегда ли можно из отрезков BA_1, A_1D и DB_1 составить треугольник?

2) Средний уровень.

№5. Условие: прямоугольный треугольник ABC (B-прямой). Высота AD, биссектриса CE. Пересекаются в точке F.

Доказать: если отрезок AE перенести параллельным переносом так, что A совместится с F, E окажется на гипотенузе.

№6. В треугольнике ABC угол B равен 60 градусам. В треугольнике проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. К отрезку A_1C_1 восстановлен серединный перпендикуляр, пересекающий прямую BC в точке F.

Доказать: CF=AC.

№7. Условие: в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BD и медиана CE. В треугольнике BDA также проведена медиана AF.Эти медианы пересекаются в точке G.

Доказать: G—одна из точек Брокара треугольника DEF.

№8. Условие: на диаметре AB окружности выбрана произвольно точка D. Перпендикуляр к AB, проведенный через точку D, пересекает окружность в точке C. На AD и DB как на диаметрах построены окружности. Общая касательная к этим окружностям, пересекающая CD, касается их в точках M и N соответственно.

Доказать: отрезок AC проходит через точку M, а BC - через N.

3) Высокий уровень

№9. Условие: вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. Прямая, параллельная AC, пересекает боковые стороны треугольника AB и BC в точках G и D соответственно, прямая AD пересекает окружность в точке E, назовём касательную к окружности в точке C как l.

Доказать: прямые l, GD и BE пересекаются в одной точке.


№10. Условие: дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Его отразили относительно его биссектрисы угла C осевой симметрией и получили равнобедренный треугольника A’B’C с основаниемЙ A’C. На стороне AB’ отметили середину D., а в треугольнике ABC отметили ортоцентр H.

Докажите, что площадь треугольника [math]CHD[/math] меньше [math]\frac{{AH}^2}{4}[/math].

№11 .Условие: в прямоугольной системе Декартовых координат дано семь точек: A(0;0); B(0;2); C (1;4); D (3;5); E(5;4); F(6;2); G(6;0). Назовём семиугольник ABCDEFG «холмом».

Требуется разрезать его на 8 частей, чтобы из них можно было составить четыре квадрата с площадями 9,9,5,1.

№12. Дан 7-угольник ABCDEFG на клетчатой бумаге, вершины которого имеют коордтнаты: A(0:0), B(-2;1), C(-3;3), D(-1;6), E(1;6), F(3;3), G(2;1). Обойти его вершины ломаной линией, вершины звеньев которой лежат только в узлах, а длина—27 (обходить без повторов!).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Nikolay Moskvitin "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Подборка авторских задач из книги "Введение в матанализ"

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Nikolay Moskvitin

0

347

12 янв 2015, 05:58

Задача на олимпиаду (5 задач КИТ высокой сложности)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

tiray

7

863

14 июл 2013, 19:08

Помощь в решении задач любой сложности

в форуме Объявления участников Форума

studwork

0

494

18 июн 2011, 22:28

Корни разной степени

в форуме Алгебра

SpaceChick

3

276

11 апр 2016, 20:16

Топология. Преобразование пространств разной размерности

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ermolenko

1

56

27 фев 2021, 15:00

Топология. Преобразование пространств разной размерности

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ermolenko

0

99

22 мар 2021, 23:57

вероятность что все карты окажутся разной масти

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

tanyhaftv

2

118

27 окт 2019, 17:41

Как найти количество серий разной длины по статистике?

в форуме Теория вероятностей

evs

5

179

22 сен 2019, 12:48

Алгоритм заточки с использованием вещей разной ценности

в форуме Теория вероятностей

Denspens

1

263

19 янв 2012, 15:38

Места чисел разной природы в системе естественных координат

в форуме Палата №6

krav

130

4464

03 окт 2013, 05:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved