Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Полное исследование функции с натуральным логарифмом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=8118
Страница 1 из 3

Автор:  Stacy [ 05 окт 2011, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Проверьте, пожалуйста правильность решения:
провести полное исследование функции
[math]y=\frac{lnx}{x}[/math]

делала по http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=5725
1. [math]D(f):x\in (0;+\infty )[/math]
нули функции x=1
2. периодичность
Нужно еще указать точку, в котором не выполн-ся 1 или 2 условие существования периода
[math]\exists T\ne 0[/math]
если вып-ся условие, что f(x-T)=f(x)=f(x+T)
возьмем [math]x=1 \in (0;+\infty )[/math]
подставляем
[math]\frac{ln1}{1} =\frac{ln(1+T)}{1+T} =\frac{ln(1-T)}{1-T}[/math] - ?
решая уравнение, получается
[math]\frac{ln1}{1} =\frac{ln(1+T)}{1+T}[/math]
[math]1+T=\frac{ln(1+T)}{ln1}=log_{1} (1+T)[/math] - но основание логарифма не м-т быть равно 1 => Т не существует
функция также не может быть периодичной т.к. невозможна повторяемость графика, т.к. функция имеет только один нуль.
3. четность и нечетность функции
[math]f(-x)\ne -f(x)[/math]
[math]f(-x)\ne f(x)[/math] т.к. x> 0
функция общего вида
4. монотонность
[math]f'(x)=(\frac{lnx}{x})' =\frac{1-ln(x)}{x^{2} } =0[/math]
[math]x=e \approx 2.7[/math]- но это получается только стационарная точка?
т.к. на промежутке (0;2.7) функция возрастает и на промежутке [math](2.7;+\infty )[/math] функция тоже возрастает, а производная равна нулю на промежутке (0;2.7] и потом возрастает
вобщем здесь я запуталась
5. выпуклость
[math]f'' =\frac{(1-1/x)\cdot x^{2} -2x(1-lnx)}{x^{4} }[/math]
[math]f''(x)< 0 => f(x) \cap[/math] на [math](0;+\infty )[/math]
[math]f''(x)> 0 => f(x) \cap[/math]на [math](0;+\infty )[/math]

точек перегиба нет
и область значений функции [math]y=(-\infty ;+\infty )[/math]

6. ассимптоты графика
горизонтальной ассимптоты нет т.к. график функции пересекает ось Оx в точке 1
а ось Оу может являться вертикальной асимптотой?

Автор:  valentina [ 05 окт 2011, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

1) от второго пункта поплохело. это же не тригонометрическая функция
2) x=e это точка экстремума и надо найти максимум функции , он будет у=1/е
3) вторая производная не правильно найдена
4) у меня было указано, как ищутся асимптоты

Автор:  Stacy [ 05 окт 2011, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

valentina
да, я знаю по поводу что это не трегонометрическая функция, просто преподователь требует доказать, что нет периода...
а ассимптоты я не поняла как искать... то есть я знаю как вычисляются пределы, но мне непонятны сами формулы - как искать ассмиптоты..
хм, а как найти максимум функции? Обычно же производная приравнивается к нулю- так и получаются экстремумы. А экстремум и максимум функции - не одно и то же?

Автор:  Stacy [ 06 окт 2011, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

а почему вторая производная неправильно найдена? Там же получается частное производных, вычисляется по формуле (f(x)/g(x))' ?
ассимпоты:
1. вертикальная
[math]x=a[/math]
[math]y(a-)=\lim_{{x}\to{a-0}}{f(x)}[/math] - не сущетсвует т.к. x> 0
[math]y(a+)=\lim_{{x}\to{a+0}}{\frac{lnx}{x} }= \frac{-\infty }{0} = -\infty[/math] - что это значит, что предел бесконечен? В смысле, что нет передела? И нет вертикальной ассимптоты?

2. горизонтальная
y=a
[math]\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{lnx}{x} }=\frac{\infty }{\infty }[/math] - если раскрыть неопределенность вида [math](\frac{\infty }{\infty } )[/math] с помощью теоремы Лопиталя, то получится в итоге [math]\infty[/math] - или я не так решила? Что значит, если предел равен бесконечности?
3. наклонная
[math]k=\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{lnx/x}{x} }=\lim_{{x}\to{\pm b\infty }}{\frac{lnx}{x^{2} } }=(\frac{\infty }{\infty } )= \lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{(lnx)' }{(x^{2})' } }=\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{1}{2x^{2} } } = 0[/math]
[math]b=\lim_{{x}\to{b\pm \infty }}{\frac{lnx}{x} }=\lim_{{x}\to{b\pm \infty }}{\frac{1}{x^{2} } }=0[/math]
значит наклонной ассимптоты нет

Автор:  valentina [ 06 окт 2011, 15:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Stacy писал(а):
а почему вторая производная неправильно найдена? Там же получается частное производных, вычисляется по формуле (f(x)/g(x))' ?

производная от 1 = 0, а у вас она =1

Автор:  valentina [ 06 окт 2011, 15:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Stacy писал(а):
?
ассимпоты:
1. вертикальная
[math]x=a[/math]
[math]y(a-)=\lim_{{x}\to{a-0}}{f(x)}[/math] - не сущетсвует т.к. x> 0
[math]y(a+)=\lim_{{x}\to{a+0}}{\frac{lnx}{x} }= \frac{-\infty }{0} = -\infty[/math] - что это значит, что предел бесконечен? В смысле, что нет передела? И нет вертикальной ассимптоты?

точки а смотрятся из оласти определения. Это точки разрыва (граничные точки)

Автор:  Yurik [ 06 окт 2011, 15:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Горизонтальная асимптота это та же наклонная, у которой [math]k=0[/math].
Поэтому нет необходимости находить горизонтальную асимптоту, если всё равно ищите наклонные.

Автор:  valentina [ 06 окт 2011, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Yurik
я могу и отойти в сторону, если Вы очень рвётесь в бой. Вперёд...

Автор:  Yurik [ 06 окт 2011, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

valentina, нет-нет, извините, продолжайте!

Автор:  Stacy [ 07 окт 2011, 13:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом

Я еще раз исследовала на монотонность, и получается 1/e - это максимум функции, и на промежутке от 0 до e - функция возрастает, а на промежутке от e до +бесконечности - убывает, только у меня вопрос: как меняется знак производной?
- если подставлять значения х из промежутка от 0 до e - то производная может быть в минусе, а на промежутке от е до бесконечности - плюс, но график наборот сначала возрастает а потом убывает, такое может быть?

valentina
спасибо за подсказку! Что-то меня переклинило с константой)

-Тогда
[math]f'' = \frac{2\cdot lnx-3}{x^{3} }[/math]
если вторую производную приравнять к нулю, то получится, что
[math]x=e\cdot \sqrt{e}[/math]

тогда на [math](0;e\sqrt{e} )[/math] f'' - отрицательна, на [math](e\sqrt{e};+\infty )[/math] - f'' положительна, но сама функция на обоих промежутках выпукла вверх, правильно?

- насчет ассимптот:
вертикальная
[math]y(0)=\lim_{{x}\to{0}}{\frac{lnx}{x} }=\infty[/math]
[math]y(+\infty )=\lim_{{x}\to{+\infty }}{\frac{lnx}{x} }=\lim_{{x}\to{+\infty }}{\frac{(lnx)' }{x' } }=\lim_{{x}\to{0}}{\frac{1}{x} }=0[/math]
- правильно?

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/