Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 05 окт 2011, 14:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2011, 10:39
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверьте, пожалуйста правильность решения:
провести полное исследование функции
[math]y=\frac{lnx}{x}[/math]

делала по http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=5725
1. [math]D(f):x\in (0;+\infty )[/math]
нули функции x=1
2. периодичность
Нужно еще указать точку, в котором не выполн-ся 1 или 2 условие существования периода
[math]\exists T\ne 0[/math]
если вып-ся условие, что f(x-T)=f(x)=f(x+T)
возьмем [math]x=1 \in (0;+\infty )[/math]
подставляем
[math]\frac{ln1}{1} =\frac{ln(1+T)}{1+T} =\frac{ln(1-T)}{1-T}[/math] - ?
решая уравнение, получается
[math]\frac{ln1}{1} =\frac{ln(1+T)}{1+T}[/math]
[math]1+T=\frac{ln(1+T)}{ln1}=log_{1} (1+T)[/math] - но основание логарифма не м-т быть равно 1 => Т не существует
функция также не может быть периодичной т.к. невозможна повторяемость графика, т.к. функция имеет только один нуль.
3. четность и нечетность функции
[math]f(-x)\ne -f(x)[/math]
[math]f(-x)\ne f(x)[/math] т.к. x> 0
функция общего вида
4. монотонность
[math]f'(x)=(\frac{lnx}{x})' =\frac{1-ln(x)}{x^{2} } =0[/math]
[math]x=e \approx 2.7[/math]- но это получается только стационарная точка?
т.к. на промежутке (0;2.7) функция возрастает и на промежутке [math](2.7;+\infty )[/math] функция тоже возрастает, а производная равна нулю на промежутке (0;2.7] и потом возрастает
вобщем здесь я запуталась
5. выпуклость
[math]f'' =\frac{(1-1/x)\cdot x^{2} -2x(1-lnx)}{x^{4} }[/math]
[math]f''(x)< 0 => f(x) \cap[/math] на [math](0;+\infty )[/math]
[math]f''(x)> 0 => f(x) \cap[/math]на [math](0;+\infty )[/math]

точек перегиба нет
и область значений функции [math]y=(-\infty ;+\infty )[/math]

6. ассимптоты графика
горизонтальной ассимптоты нет т.к. график функции пересекает ось Оx в точке 1
а ось Оу может являться вертикальной асимптотой?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 05 окт 2011, 15:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) от второго пункта поплохело. это же не тригонометрическая функция
2) x=e это точка экстремума и надо найти максимум функции , он будет у=1/е
3) вторая производная не правильно найдена
4) у меня было указано, как ищутся асимптоты

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 05 окт 2011, 18:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2011, 10:39
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
valentina
да, я знаю по поводу что это не трегонометрическая функция, просто преподователь требует доказать, что нет периода...
а ассимптоты я не поняла как искать... то есть я знаю как вычисляются пределы, но мне непонятны сами формулы - как искать ассмиптоты..
хм, а как найти максимум функции? Обычно же производная приравнивается к нулю- так и получаются экстремумы. А экстремум и максимум функции - не одно и то же?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 14:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2011, 10:39
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а почему вторая производная неправильно найдена? Там же получается частное производных, вычисляется по формуле (f(x)/g(x))' ?
ассимпоты:
1. вертикальная
[math]x=a[/math]
[math]y(a-)=\lim_{{x}\to{a-0}}{f(x)}[/math] - не сущетсвует т.к. x> 0
[math]y(a+)=\lim_{{x}\to{a+0}}{\frac{lnx}{x} }= \frac{-\infty }{0} = -\infty[/math] - что это значит, что предел бесконечен? В смысле, что нет передела? И нет вертикальной ассимптоты?

2. горизонтальная
y=a
[math]\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{lnx}{x} }=\frac{\infty }{\infty }[/math] - если раскрыть неопределенность вида [math](\frac{\infty }{\infty } )[/math] с помощью теоремы Лопиталя, то получится в итоге [math]\infty[/math] - или я не так решила? Что значит, если предел равен бесконечности?
3. наклонная
[math]k=\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{lnx/x}{x} }=\lim_{{x}\to{\pm b\infty }}{\frac{lnx}{x^{2} } }=(\frac{\infty }{\infty } )= \lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{(lnx)' }{(x^{2})' } }=\lim_{{x}\to{\pm \infty }}{\frac{1}{2x^{2} } } = 0[/math]
[math]b=\lim_{{x}\to{b\pm \infty }}{\frac{lnx}{x} }=\lim_{{x}\to{b\pm \infty }}{\frac{1}{x^{2} } }=0[/math]
значит наклонной ассимптоты нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 15:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Stacy писал(а):
а почему вторая производная неправильно найдена? Там же получается частное производных, вычисляется по формуле (f(x)/g(x))' ?

производная от 1 = 0, а у вас она =1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 15:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Stacy писал(а):
?
ассимпоты:
1. вертикальная
[math]x=a[/math]
[math]y(a-)=\lim_{{x}\to{a-0}}{f(x)}[/math] - не сущетсвует т.к. x> 0
[math]y(a+)=\lim_{{x}\to{a+0}}{\frac{lnx}{x} }= \frac{-\infty }{0} = -\infty[/math] - что это значит, что предел бесконечен? В смысле, что нет передела? И нет вертикальной ассимптоты?

точки а смотрятся из оласти определения. Это точки разрыва (граничные точки)


Последний раз редактировалось valentina 06 окт 2011, 15:21, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 15:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Горизонтальная асимптота это та же наклонная, у которой [math]k=0[/math].
Поэтому нет необходимости находить горизонтальную асимптоту, если всё равно ищите наклонные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 15:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik
я могу и отойти в сторону, если Вы очень рвётесь в бой. Вперёд...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 15:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
valentina, нет-нет, извините, продолжайте!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное исследование функции с натуральным логарифмом
СообщениеДобавлено: 07 окт 2011, 13:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2011, 10:39
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я еще раз исследовала на монотонность, и получается 1/e - это максимум функции, и на промежутке от 0 до e - функция возрастает, а на промежутке от e до +бесконечности - убывает, только у меня вопрос: как меняется знак производной?
- если подставлять значения х из промежутка от 0 до e - то производная может быть в минусе, а на промежутке от е до бесконечности - плюс, но график наборот сначала возрастает а потом убывает, такое может быть?

valentina
спасибо за подсказку! Что-то меня переклинило с константой)

-Тогда
[math]f'' = \frac{2\cdot lnx-3}{x^{3} }[/math]
если вторую производную приравнять к нулю, то получится, что
[math]x=e\cdot \sqrt{e}[/math]

тогда на [math](0;e\sqrt{e} )[/math] f'' - отрицательна, на [math](e\sqrt{e};+\infty )[/math] - f'' положительна, но сама функция на обоих промежутках выпукла вверх, правильно?

- насчет ассимптот:
вертикальная
[math]y(0)=\lim_{{x}\to{0}}{\frac{lnx}{x} }=\infty[/math]
[math]y(+\infty )=\lim_{{x}\to{+\infty }}{\frac{lnx}{x} }=\lim_{{x}\to{+\infty }}{\frac{(lnx)' }{x' } }=\lim_{{x}\to{0}}{\frac{1}{x} }=0[/math]
- правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследование функции с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

anonimx

4

617

01 мар 2016, 23:13

Предел функции с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ilya0804

5

1070

02 окт 2015, 15:43

Найти предел функции с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

spooky jim

1

463

15 ноя 2017, 07:01

Найти предел функции с тангенсом и натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elena_K

1

301

01 окт 2017, 13:41

Задачка с натуральным логарифмом

в форуме Алгебра

legosimpson

7

240

01 ноя 2022, 21:13

Предел с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mazzak

7

268

09 дек 2019, 00:34

Предел последовательности с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Pavel_345

1

758

25 дек 2016, 16:52

Уравнение с экспонентой и натуральным логарифмом

в форуме Алгебра

Rimean

2

776

09 дек 2016, 18:14

Предел последовательности с натуральным логарифмом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

antheat

1

233

21 окт 2022, 20:29

Уравнение с натуральным логарифмом и модулем

в форуме Алгебра

arthurid

4

545

27 мар 2015, 16:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved