Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 27 май 2022, 13:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Задача из книги Натанзона "Краткий курс математического анализа": "докажите, что из любого покрытия отрезка открытыми интервалами можно выделить конечное подпокрытие".
Попытался доказать сам, хотелось бы получить критику. Есть подозрение, что оно в корне неверно, но я всё никак не увижу ошибку.

Итак, доказательство.
Пусть [math]\boldsymbol{S} = \left\{ \left( \mathbf{i} , \mathbf{j} \right) | \mathbf{i} , \mathbf{j} \in \mathbb{R} \right\}[/math] -- система открытых интервалов и [math]\left[ a, b \right][/math] -- отрезок, такой, что [math]\left[ a, b \right][/math] [math]\subset \boldsymbol{S*}[/math] [math]= \bigcup\limits_{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \in \mathbb{R} }\left( \mathbf{i} , \mathbf{j} \right)[/math] [math]\Rightarrow \forall \mathsf{x} \in \left[ a, b \right][/math] [math]\exists \left( \mathbf{i} , \mathbf{j} \right)[/math] [math]\subset \boldsymbol{S}[/math], [math]\mathsf{x} \in \left( \mathbf{i} , \mathbf{j} \right)[/math] .
[math]\left( a, b \right) \subset[/math][math]\left[ a, b \right][/math] [math]\Rightarrow \left( a, b \right) \subset \boldsymbol{S}[/math] . Пусть a [math]\in \left( u, v \right) \subset \boldsymbol{S}[/math], b [math]\in \left( s, t \right) \subset \boldsymbol{S}[/math], где [math]u < a < v[/math], [math]s < b < t[/math] . Предположим, что [math]s < a[/math]. Т.к. [math]a < b[/math], то [math]s < a < b < t[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left[ a, b \right][/math] [math]\subset[/math] [math]\left( s, t \right)[/math].

Пусть теперь [math]a < s[/math]. Тогда из уже имеющихся неравенств получаем, что [math]u < a < s < b < t[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left[ a, b \right][/math] [math]\subset \left\{ \left( u, s \right) \cup \left( s, t \right) \right\}[/math] . Для точки b рассуждения аналогичны приведённым.
Стоило, наверное, включить в объединение интервалов также интервал (a, b)?

Вот скажите, пожалуйста, мне: вышла полная чушь? Если так, то прошу объяснить, в чём здесь мои ошибки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 06:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Зачем вы обозначаете действительные числа [math]i[/math] и [math]j[/math] жирным шрифтом?

Нет необходимости использовать команды \left и \right, если формула между скобками имеет обычную высоту, то есть там нет суммы, интеграла или какого-то другого символа, высота которого превосходит естественную высоту скобок.

Никогда не разбивайте одну формулу по разным тегам math, как в случае [math ]\left[ a, b \right][/math ] [math ]\subset \boldsymbol{S*}[/math ].

Никогда не ставьте пробел перед точкой.

Viktors писал(а):
[math]\left( a, b \right) \subset[/math][math]\left[ a, b \right][/math] [math]\Rightarrow \left( a, b \right) \subset \boldsymbol{S}[/math].
Утверждение [math](a,b)\subset S[/math] неправильно с тИповой точки зрения, так как интервалы являются элементами множества [math]S[/math], а не его подмножествами.

Viktors писал(а):
Пусть a [math]\in \left( u, v \right) \subset \boldsymbol{S}[/math], b [math]\in \left( s, t \right) \subset \boldsymbol{S}[/math], где [math]u < a < v[/math], [math]s < b < t[/math] .
Фраза после "где" является излишней, потому что она следует из первой части предложения.

Viktors писал(а):
Пусть теперь [math]a < s[/math]. Тогда из уже имеющихся неравенств получаем, что [math]u < a < s < b < t[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left[ a, b \right][/math] [math]\subset \left\{ \left( u, s \right) \cup \left( s, t \right) \right\}[/math] .
Заключение после [math]\Rightarrow[/math] не вытекает из предыдущего, так как [math]s\notin (u,s)\cup (s,t)[/math]. Фигурные скобки здесь не нужны. Более важно то, что ниоткуда не следует, что [math](u,s)\in S[/math].

Viktors писал(а):
Стоило, наверное, включить в объединение интервалов также интервал (a, b)?
Объединение интервалов — это подмножество [math]\mathbb{R}[/math], например, тоже интервал. Что значит "включить интервал в другой интервал"? И что значит "стоило" в контексте доказательства?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 15:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Никогда не ставьте пробел перед точкой.

После формулы часто забываю поставить точку, но если не забываю, то пробел ставлю всегда - маленький такой: /, . Ещё ставлю перед [math]dx[/math] в интеграле. Так красивее, сравните [math]\int \sin xdx[/math] и [math]\int \sin x\,dx\, .[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 15:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я вспомнил, что латеховский стиль LNCS рекомендует ставить \enspace перед точкой в выключных формулах, но все-таки не после внутритекстовых формул. И да, Кнут в книге "Все про TeX" рекомендует вставлять тонкий пробел перед dx. Некоторые люди также рекомендуют набирать d прямым шрифтом: \mathrm{d}x.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 22:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer
Цитата:
Зачем вы обозначаете действительные числа i
и j
жирным шрифтом?

Не обратив внимания применил их к первой формуле, в итоге решил так и продолжить. Прошу прощения.

Цитата:
Нет необходимости использовать команды \left и \right, если формула между скобками имеет обычную высоту, то есть там нет суммы, интеграла или какого-то другого символа, высота которого превосходит естественную высоту скобок.

Никогда не разбивайте одну формулу по разным тегам math, как в случае [math ]\left[ a, b \right][/math ] [math ]\subset \boldsymbol{S*}[/math ].

Никогда не ставьте пробел перед точкой.

Понял. Учту.

Цитата:
Утверждение (a,b)⊂S
неправильно с тИповой точки зрения, так как интервалы являются элементами множества S
, а не его подмножествами.

Да, Вы совершенно правы. И как умудрился перепутать... Только благодаря Вам и заметил, спасибо.

Цитата:
Фраза после "где" является излишней, потому что она следует из первой части предложения.

На тот момент хотелось подчеркнуть, что, например, элемент a лежит строго между элементами u и v, но сейчас понимаю, что это и вправду лишнее, ибо следует из определения самого интервала.

Цитата:
Заключение после ⇒
не вытекает из предыдущего, так как s∉(u,s)∪(s,t)
. Фигурные скобки здесь не нужны. Более важно то, что ниоткуда не следует, что (u,s)∈S
.

Точно, что же я такой невнимательный. [math]s\in (u, s) \cup (a, t)[/math] и [math][a, b]\subset (u, s) \cup (a, t)[/math], так?
S состоит из интервалов, покрывающих отрезок [a, b], интервал (u, s) покрывает этот отрезок (некоторую его часть), разве отсюда не следует, что [math](u, s) \in S[/math]?

Цитата:
Объединение интервалов — это подмножество R
, например, тоже интервал. Что значит "включить интервал в другой интервал"? И что значит "стоило" в контексте доказательства?

Сделать его подмножеством другого интервала. Кстати, [math]s \in (u, s) \cup (a, b) \cup (s, t)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 30 май 2022, 12:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так и непонятно: верно ли я ответил и верно ли в этом случае доказательство...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами
СообщениеДобавлено: 30 май 2022, 17:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Viktors писал(а):
S состоит из интервалов, покрывающих отрезок [a, b], интервал (u, s) покрывает этот отрезок (некоторую его часть), разве отсюда не следует, что [math](u, s) \in S[/math]?
Фраза "[math]S[/math] — покрытие отрезка [math][a,b][/math] открытыми интервалами" означает, что [math]\forall x\in[a,b]\,\exists u,v.\,(u,v)\in S\land u<x<v[/math]. Она не означает, что [math]\forall u,v.\,(u,v)\cap[a,b]\ne\emptyset\implies (u,v)\in S[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Принадлежность отрезка многоугольнику любого вида

в форуме Геометрия

Amplifier

11

382

17 май 2020, 20:54

Интегрирование функций заданных интервалами

в форуме Алгебра

Login V

4

228

19 янв 2021, 18:24

Оптимальные системы покрытия (covering designs)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Flake

0

131

13 апр 2020, 17:18

Размер наименьшего вершинного покрытия в графе

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dimavfox

2

197

10 май 2020, 14:34

Поверхностный угол максимального покрытия сферы

в форуме Геометрия

grundic2

5

107

18 янв 2024, 00:30

Для покрытия ценового риска банк купил на фондовом рынке опцион

в форуме Экономика и Финансы

nastena_ru07

0

232

07 апр 2015, 12:25

Кратные любого числа k

в форуме Теория чисел

Tobias

3

236

30 авг 2021, 19:38

Как найти синус любого угла?

в форуме Тригонометрия

mdauletiyarov

4

281

22 фев 2020, 09:55

Вопрос о получении любого числа

в форуме Размышления по поводу и без

dorofeev

22

1622

23 сен 2017, 15:22

Докажите что для любого натурального значения n справедливо

в форуме Алгебра

HackeXe

2

580

20 окт 2015, 17:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved