Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 19:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может кого заинтересует задача. Натолкнулся в книге "Что такое математика" на такое упражнение. Вычислить предел: [math]\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } \right)[/math] . Дело осложняется тем, что не введены ещё ни правило Лопиталя, ни ряд Тейлора, ни прочие эквивалентности. Решить нужно элементарными методами. Свою попытку решения я убираю в офф-топик. Возможно это не оптимальный способ.
0 [math]< \frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } < \frac{ 1 }{ \sin{x} } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } = \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } \to 0[/math] при [math]x \to 0[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 03 янв 2022, 19:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, хорошее решение.
Могу предложить такое полурешение: если предел есть, то он равен нулю, так как функция нечетная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 25 мар 2022, 13:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 мар 2022, 13:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно еще проще, при стремлении к 0, [math]\operatorname{tg}{x}[/math] эквивалентен x.
0 [math]< \frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } < \frac{ 1 }{x} - \frac{ 1 }{x} = 0[/math] при [math]x \to 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 25 мар 2022, 14:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Horatio Gordon писал(а):
Можно еще проще, при стремлении к 0, [math]\operatorname{tg}{x}[/math] эквивалентен x.
0 [math]< \frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } < \frac{ 1 }{x} - \frac{ 1 }{x} = 0[/math] при [math]x \to 0[/math]


Типичная ошибка, слышавших звон об эквивалентных величинах, но пропустивших мимо ушей, где же их можно применять.
Можно заменить без изменения предела, множитель (и ещё в некоторых случаях) на эквивалент, а применение их где попало, могут привести к ошибке:

[math]x\sim x+x^2[/math] при [math]x\to0,[/math] но [math]\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+x^2}\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{1+x}=1\ne0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 06 окт 2022, 23:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 окт 2022, 23:00
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{x \to 0} (\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} })[/math]

Воспользуемся одним свойством: при [math]x\longrightarrow 0[/math] [math]x = \sin{x}[/math]. Значит делаем замену:

[math]\lim_{x \to 0} (\frac{ 1 }{ \sin{x} } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } )= \lim_{x \to 0} (\frac{ 1 }{ \sin{x}} - \frac{ \cos{x} }{ \sin{x} } )= \lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \cos{x} }{ \sin{x} }[/math]

Так как [math]\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } = \frac{ 1 - \cos{x} }{ \sin{x} }[/math], то

[math]\lim_{x \to 0} \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } = 0[/math]

Ответ: [math]\lim_{x \to 0} (\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} }) = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вроде бы простой предел с двумя дробями
СообщениеДобавлено: 07 окт 2022, 10:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если замена бесконечно малой величины на эквивалентную может привести к ошибке, повычисляем честно. Вынесем за скобку [math]\frac{1}{x}.[/math] Тогда предел будет равен [math]\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\operatorname{tg}{x} } }{x}.[/math] Осталось пролопиталить, после чего будет видно, что предел равен нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простой пример со степенями и дробями

в форуме Алгебра

LittleAngel

1

115

12 сен 2023, 22:20

Элиминация кванторов (вопрос вроде простой)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Hnoy

2

162

21 дек 2020, 11:14

Вроде бы простой интеграл. Что я делаю неправильно?

в форуме Интегральное исчисление

Nomad

2

290

03 окт 2016, 15:23

Вроде ДУ второго порядка с понижением степени, а вроде нет &

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Pechenqko

2

358

17 дек 2015, 23:35

Простой предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Nameless

6

358

05 апр 2014, 06:45

Простой предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

crazymadman18

1

165

24 дек 2016, 14:52

Простой предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tenken

3

398

22 июл 2014, 19:18

Простой предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tenken

3

245

23 сен 2014, 15:29

Простой предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Arthur0905

5

337

21 окт 2018, 23:01

Простой замечательный предел, сложный для новичка

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mars

7

413

12 окт 2014, 06:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved