Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 12:28 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 апр 2019, 13:04
Сообщений: 128
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Задана числовая последовательность рекуррентным соотношением:

Изображение

Как доказать, что она имеет предел? Как вычислить этот предел? Понятно как это сделать в случае если x стремится, например, к бесконечности, то тут рекуррентное соотношение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 13:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 8008
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1480 раз в 1398 сообщениях
Очков репутации: 211

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
constantin01 писал(а):
Как доказать, что она имеет предел?

Для того, чтобы что-то доказывать, надо иметь в запасе несколько теорем, на которые можно опереться. Если этот запас у вас? Может в памяти, может в конспекте, может в пособии. может в учебнике. Интуитивно мне представляется, что если последовательность возрастающая, то она должна иметь предел, конечный или бесконечный. Есть ли в вашем запасе какая-нибудь теорема на эту тему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 13:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 715
Cпасибо сказано: 127
Спасибо получено:
209 раз в 192 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Попробуйте исследовать вопрос о монотонности и ограниченности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 13:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 8008
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1480 раз в 1398 сообщениях
Очков репутации: 211

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
constantin01 писал(а):
Как доказать, что она имеет предел? Как вычислить этот предел? Понятно как это сделать в случае если x стремится, например, к бесконечности,

Следующий этап в овладении математикой состоит в осознании, что в этом случае и делать ничего не надо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:33 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 564
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
169 раз в 150 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите эту тему: [url]mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=52890[/url]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 15:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 8008
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1480 раз в 1398 сообщениях
Очков репутации: 211

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline
А чего это ваша ссылка синим цветом не выделена? Хотя вроде оформлена правильно. Попробую в начале добавить http://
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=52890
Ага! Вроде получилось. У меня Хром http в адресах съедает, а IE нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 19:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4108
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1817 раз в 1511 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Попробуйте исследовать вопрос о монотонности и ограниченности.

Так решать в данном случае неудобно, так как последовательность будет немонотонной. Гораздо удобнее через сжимающие отображения.

Отображение [math]f(x)=\frac{11}{10}+\frac1{x+1}[/math] является сжимающим на [math][1;+\infty)[/math], поскольку

[math]|f'(x)|=\frac1{(x+1)^2}\leqslant\frac14<1[/math]

Легко показать, что [math]x_n>1[/math] при [math]n>1[/math]. Значит по принципу сжимающих отображений последовательность [math]x_{n+1}=f(x_n)[/math] сходится к неподвижной точке [math]f[/math]. Неподвижная точка ищется легко.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 20:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 8008
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1480 раз в 1398 сообщениях
Очков репутации: 211

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно просто показать, что [math]|x_{n+1}-x^*|< \alpha |x_n-x^*|[/math] . Где [math]|\alpha|<1[/math], а [math]x^*[/math] - предел последовательности. Его находим в начале в предположении, что он существует, просто переходя к пределу в рекуррентном соотношении.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовая последовательность с рекуррентным соотношением
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 22:43 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 апр 2019, 13:04
Сообщений: 128
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, спасибо за ответ! Принцип сжимающихся отображений в курсе вузовского мат. анализа не встречал (1 курс).

Правильно ли я понимаю, что для доказательства существования предела достаточно показать, что производная общего члена меньше единицы?

Так же мне не очевидно как найти неподвижную точку в моем случае, то есть в случае рекуррентного способа задания последовательности. Неподвижная точка - это критическая точка? Т.е. нужно найти значение x, при котором производная равна нулю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Числовая последовательность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

NohchI95

1

399

25 янв 2014, 16:16

Числовая последовательность. Задача на делимость

в форуме Алгебра

Dr_Zet

8

200

06 май 2019, 22:05

Каким соотношением связаны координаты точек

в форуме Алгебра

dikarka2004

4

205

18 янв 2021, 06:49

Числовая последоывательность

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Galina Alexandrovna

3

297

11 янв 2019, 14:11

Числовая прямая

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alesha_golubi

1

63

24 ноя 2020, 13:08

что такое не числовая оптимизация

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Greshnaya333

0

372

06 апр 2012, 20:33

Числовая прямая: кажется тут не всё чисто...

в форуме Размышления по поводу и без

IQFun

1

268

26 дек 2014, 12:36

Принадлежит ли беск. числовая послед. пространствам Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

uzu_hero

2

185

22 сен 2020, 13:04

Числовая "неожиданность"

в форуме Алгебра

sfanter

0

191

13 окт 2014, 11:02

Последовательность (1+1/n)^(n+1)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RikkiTan1

1

381

10 фев 2014, 14:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved