Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на док-во сходимости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=51738
Страница 1 из 1

Автор:  Commie [ 09 дек 2016, 23:58 ]
Заголовок сообщения:  Задача на док-во сходимости

Дана ограниченная сверху последовательность, которая удовлетворяет условию:
x[math]_{n+1}[/math]-x[math]_{n}[/math] [math]\geqslant[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2^{n} }[/math], где n принадлежит [math]\boldsymbol{N}[/math]
Необходимо доказать ее сходимость.

Автор:  searcher [ 10 дек 2016, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Начиная с некоторого [math]n[/math], п-сть [math]x_n[/math] принадлежит ограниченному отрезку. Следовательно на этом отрезке у п-сти есть предельная точка. Легко видеть, что предельная точка единственна.

Автор:  Commie [ 11 дек 2016, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

А что делать тем, кому не легко видеть...? :cry:

Автор:  searcher [ 11 дек 2016, 23:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

searcher писал(а):
. Легко видеть, что предельная точка единственна.

Commie писал(а):
А что делать тем, кому не легко видеть...?

Пробовать доказать от противного. Хотя тут дело наверное много проще. Попробуйте доказать непосредственно фундаментальность последовательности (Наверное при условии, что есть уже одна предельная точка. Сразу как-то не получается. Хотя тогда проще вернуться к первоначальной идее и доказывать единственность предельной точки).

Автор:  Ellipsoid [ 12 дек 2016, 01:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача.

Автор:  searcher [ 12 дек 2016, 11:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Ellipsoid писал(а):
Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача.

Не подскажете, где конкретно? Я просмотрел, не нашёл.

Автор:  Ellipsoid [ 12 дек 2016, 11:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Кажется, там, где про монотонные последовательности.

Автор:  Human [ 12 дек 2016, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Любую последовательность [math]x_n[/math] можно представить в виде суммы возрастающей и убывающей последовательностей следующим образом:

[math]x_n=x_1+\sum_{k=2}^n(x_k-x_{k-1})=\underbrace{\left(x_1+\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}\geqslant0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{y_n}+\underbrace{\left(\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}<0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{z_n},\quad\forall n>1[/math]

[math]y_1=x_1,\ z_1=0[/math]

Другими словами, мы оставляем только положительные приращения, а отрицательные выделяем в отдельную последовательность.

С учетом условия легко показать, что [math]z_n[/math] ограничена снизу числом [math]-1[/math], значит [math]y_n[/math] ограничена сверху (поскольку она есть сумма ограниченных сверху [math]x_n[/math] и [math](-z_n)[/math]). Значит они обе сходятся, и значит сходится [math]x_n[/math].

Не уверен, что мое решение сильно проще предложенного searcher, но оно хотя бы позволяет взглянуть на задачу под другим углом и не копаться в эпсилон-формализме.

Ellipsoid

К сожалению, тоже не нашел. Разбираемая в параграфе о монотонных последовательностях задача, на мой взгляд, никакого отношения к теме не имеет.
Вам не трудно привести более точную ссылку?

Автор:  Commie [ 12 дек 2016, 21:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Спасибо! Я постараюсь разобраться.

Автор:  Prokop [ 12 дек 2016, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на док-во сходимости

Введём неотрицательную последовательность [math]\left\{{{t_n}}\right\}[/math]
такую, что
[math]{x_{n + 1}}={x_n}- \frac{1}{{{2^n}}}+{t_n}[/math].
Сложив эти равенства [math]n = 1, \cdots ,m[/math] , получим
[math]{x_{m + 1}}={x_1}- \sum\limits_{n = 1}^m{\frac{1}{{{2^n}}}}+ \sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math].
Учитывая ограниченность последовательности [math]\left\{{{x_n}}\right\}[/math] сверху, выводим, что возрастающая последовательность сумм
[math]\sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math]
ограничена. Поэтому по признаку Вейёрштрасса конечна сумма
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math].
Отсюда следует, что
[math]\mathop{\lim}\limits_{m \to \infty}{x_{m + 1}}={x_1}- 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/