Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=51557
Страница 1 из 1

Автор:  hranitel6 [ 03 дек 2016, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Предел

Добрый вечер.
Есть предел:
[math]\lim_{x \to \pi } \frac{ \cos{5x} - \cos{3x} }{ \sin{x} \cdot \sin{x} }[/math]

Попробовал решить через замену переменных
t->x-pi

В итоге получил предел
[math]\lim_{t \to 0 } \frac{ -\cos{5t} + \cos{3t} }{ \sin{t} \cdot \sin{t} }[/math]

Далее не понимаю, как решить его. Подскажите, пожалуйста.

Автор:  Andy [ 04 дек 2016, 10:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

При [math]t \to 0[/math] [math]\sin{t} \sim t.[/math] И, может быть, нужно преобразовать сумму в произведение по формуле [math]-\cos{5t}+\cos{3t}=\cos{3t}-\cos{5t}=2 \sin{2t} \sin{t}.[/math]

Автор:  Avgust [ 04 дек 2016, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Andy, у меня получилось [math]2\, \sin(4t) \, \sin(t)[/math]


В данном случае на 100% можно применять ЭБМ и поэтому продолжение такое:

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\frac{1-\cos(5t)-[1-\cos(3t)]}{\sin^2(t)}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\frac{25t^2}{2}-\frac{9t^2}{2}}{t^2}=\frac{25-9}{2}=8[/math]

График доказывает мою правоту:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((cos(5x)-cos(3x))%2Fsin%5E2(x),x%3Dpi%2F2..1.5*pi)

Автор:  Andy [ 05 дек 2016, 06:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Avgust
Да, разумеется, должно быть [math]2 \sin{4t} \sin{t}.[/math] Я допустил арифметическую ошибку.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/