| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел(1) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=47091 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | jagdish [ 05 фев 2016, 14:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел(1) |
[math]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2}-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........}}}}_{\bf{n\; times}}}{4^{-n}}[/math] |
|
| Автор: | wrobel [ 05 фев 2016, 15:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел(1) |
[math]a_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........}}}}_{\bf{n\; times}}[/math] [math]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\quad a_1=\sqrt 2,\quad a_n\to 2,\quad n\to\infty[/math] |
|
| Автор: | wrobel [ 05 фев 2016, 16:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел(1) |
в стартовом посте опечатка, видимо [math]a_n=2-\frac{2-\sqrt 2}{4^{n-1}}\Big(1+o(1)\Big)[/math] -- формулу надо перепроверить, это моя грубая прикидка |
|
| Автор: | Prokop [ 11 фев 2016, 23:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел(1) |
Используем стандартное представление [math]\sqrt 2 = 2\cos \frac{\pi}{{{2^2}}}[/math], [math]\sqrt{2 + \sqrt 2}= \sqrt{2 + 2\cos \frac{\pi}{{{2^2}}}}= 2\cos \frac{\pi}{{{2^3}}}[/math] и т.д. [math]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt 2}}}_{n\,times}= 2\cos \frac{\pi}{{{2^{n + 1}}}}[/math]. Поэтому [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{{2 - \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt 2}}}_{n\;times}}}{{{4^{- n}}}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{{2 - 2\cos \frac{\pi}{{{2^{n + 1}}}}}}{{{4^{- n}}}}= \frac{{{\pi ^2}}}{4}[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|