Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел(1)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=47091
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 05 фев 2016, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Предел(1)

[math]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2}-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........}}}}_{\bf{n\; times}}}{4^{-n}}[/math]

Автор:  wrobel [ 05 фев 2016, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел(1)

[math]a_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........}}}}_{\bf{n\; times}}[/math]

[math]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\quad a_1=\sqrt 2,\quad a_n\to 2,\quad n\to\infty[/math]

Автор:  wrobel [ 05 фев 2016, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел(1)

в стартовом посте опечатка, видимо


[math]a_n=2-\frac{2-\sqrt 2}{4^{n-1}}\Big(1+o(1)\Big)[/math] -- формулу надо перепроверить, это моя грубая прикидка

Автор:  Prokop [ 11 фев 2016, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел(1)

Используем стандартное представление
[math]\sqrt 2 = 2\cos \frac{\pi}{{{2^2}}}[/math],
[math]\sqrt{2 + \sqrt 2}= \sqrt{2 + 2\cos \frac{\pi}{{{2^2}}}}= 2\cos \frac{\pi}{{{2^3}}}[/math]
и т.д.
[math]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt 2}}}_{n\,times}= 2\cos \frac{\pi}{{{2^{n + 1}}}}[/math].
Поэтому
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{{2 - \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt 2}}}_{n\;times}}}{{{4^{- n}}}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{{2 - 2\cos \frac{\pi}{{{2^{n + 1}}}}}}{{{4^{- n}}}}= \frac{{{\pi ^2}}}{4}[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/