| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти предел функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=45116 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Gfhs [ 26 ноя 2015, 17:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти предел функции |
[math]\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\pi}{4}-arctg\frac{1}{1+x}}{sinx}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 26 ноя 2015, 18:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Можно пролопиталить, а можно числитель выразить через формулу Тейлора. Тогда получим ЭБМ: [math]\frac{\pi}{4}-arctg\left ( \frac{1}{1+x}\right ) \sim \frac x2[/math] Ответ в итоге [math]\frac 12[/math] |
|
| Автор: | Gfhs [ 27 ноя 2015, 12:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
К сожалению, ни правило Лопиталя, ни формулу Тейлора мы не применяли еще. |
|
| Автор: | venjar [ 27 ноя 2015, 14:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Gfhs писал(а): [math]\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\pi}{4}-arctg\frac{1}{1+x}}{sinx}[/math] Можно воспользоваться формулой разности арктангенсов для рассматриваемого случая: [math]\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y=\operatorname{arctg}\frac{ x-y }{ 1+xy }[/math], если учесть, что [math]\frac{\pi}{4}=\operatorname{arctg}1[/math]. Затем использовать эквивалентность бесконечно малых [math]\sin{x} \sim x, \operatorname{arctg}x \sim x[/math]. |
|
| Автор: | Avgust [ 27 ноя 2015, 14:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Скажите, что самостоятельно изучили Тейлора. Формула такая [math]\frac{\pi}{4}-arctg \left (\frac{1}{1+x} \right )=\frac x2-\frac{x^2}{4}+\frac {x^3}{12}-\frac{x^5}{40}+\frac{x^6}{48}- ...[/math] В качестве ЭБМ берется первый член формулы, то есть x/2 |
|
| Автор: | Gfhs [ 27 ноя 2015, 17:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел функции |
Всем спасибо. Воспользовался все же формулой разности арктангенсов. Конечно, может быть спорный знак у произведения xy, но т.к. у меня x->0, то уж когда-нибудь это произведение должно быть >-1
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|