Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=45116
Страница 1 из 1

Автор:  Gfhs [ 26 ноя 2015, 17:35 ]
Заголовок сообщения:  Найти предел функции

[math]\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\pi}{4}-arctg\frac{1}{1+x}}{sinx}[/math]

Автор:  Avgust [ 26 ноя 2015, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Можно пролопиталить, а можно числитель выразить через формулу Тейлора. Тогда получим ЭБМ:

[math]\frac{\pi}{4}-arctg\left ( \frac{1}{1+x}\right ) \sim \frac x2[/math]

Ответ в итоге [math]\frac 12[/math]

Автор:  Gfhs [ 27 ноя 2015, 12:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

К сожалению, ни правило Лопиталя, ни формулу Тейлора мы не применяли еще.

Автор:  venjar [ 27 ноя 2015, 14:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Gfhs писал(а):
[math]\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\pi}{4}-arctg\frac{1}{1+x}}{sinx}[/math]

Можно воспользоваться формулой разности арктангенсов для рассматриваемого случая:

[math]\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y=\operatorname{arctg}\frac{ x-y }{ 1+xy }[/math],
если учесть, что [math]\frac{\pi}{4}=\operatorname{arctg}1[/math].

Затем использовать эквивалентность бесконечно малых

[math]\sin{x} \sim x, \operatorname{arctg}x \sim x[/math].

Автор:  Avgust [ 27 ноя 2015, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Скажите, что самостоятельно изучили Тейлора. Формула такая

[math]\frac{\pi}{4}-arctg \left (\frac{1}{1+x} \right )=\frac x2-\frac{x^2}{4}+\frac {x^3}{12}-\frac{x^5}{40}+\frac{x^6}{48}- ...[/math]

В качестве ЭБМ берется первый член формулы, то есть x/2

Автор:  Gfhs [ 27 ноя 2015, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел функции

Всем спасибо. Воспользовался все же формулой разности арктангенсов. Конечно, может быть спорный знак у произведения xy, но т.к. у меня x->0, то уж когда-нибудь это произведение должно быть >-1 :roll:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/