Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как вычислить предел?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=44515
Страница 1 из 1

Автор:  sfanter [ 04 ноя 2015, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Как вычислить предел?

Изображение
Что то у меня потом не получалось от неопределённости уйти.

Хотя нет, подождите, попробую ещё.

Автор:  Zhenek [ 04 ноя 2015, 16:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как вычислить предел?

По-аккуратнее хоть писали бы ...
Дальше лопиталь, перевёрнутый первый замечательный предел и вроде как получается [math]\frac {1}{e}[/math]

Автор:  sfanter [ 04 ноя 2015, 16:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как вычислить предел?

Zhenek писал(а):
По-аккуратнее хоть писали бы ...
Дальше лопиталь, перевёрнутый первый замечательный предел и вроде как получается [math]\frac {1}{e}[/math]

Изображение
Что то у меня ничего не вышло

Автор:  Zhenek [ 04 ноя 2015, 16:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как вычислить предел?

Вроде так правильно.
[math]\frac{\ln(ctg(x))} {ln(x)} = \frac {\ln(1) - \ln(tg(x))}{\ln(x)} \sim \frac {-ln(x)}{ln(x)} = -1[/math] это по тейлору в точке 0 раскладываем тангенс и он эквивалентен [math]x[/math], ну и ответ [math]e^{-1}[/math]
С лопиталем я по-моему явно ошибся, там по-идее нельзя так делать, хотя даже удивительно, что у меня получилось.

Автор:  sfanter [ 04 ноя 2015, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как вычислить предел?

Zhenek писал(а):
Вроде так правильно.
[math]\frac{\ln(ctg(x))} {ln(x)} = \frac {\ln(1) - \ln(tg(x))}{\ln(x)} \sim \frac {-ln(x)}{ln(x)} = -1[/math] это по тейлору в точке 0 раскладываем тангенс и он эквивалентен [math]x[/math], ну и ответ [math]e^{-1}[/math]
С лопиталем я по-моему явно ошибся, там по-идее нельзя так делать, хотя даже удивительно, что у меня получилось.

В задании было написано вычислить по лопиталю.

Автор:  Zhenek [ 04 ноя 2015, 16:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как вычислить предел?

А, ну тогда так:
[math]-\frac {\ln(tg(x))}{\ln{x}} = \frac {-\infty }{-\infty} = -\frac {\frac{1}{cos^2(x) \cdot \frac {sin(x)}{cos(x)}}} {\frac {1}{x}} = -\frac {x}{sin(x) \cdot cos(x)} = -\frac {1}{\frac {sin(x)*1}{x}} = -\frac {1}{1} = -1[/math]
Я кстати в итоге не ошибся. Нужно лишь было на -1 умножить числитель или знаменатель, и тогда пределы бы совпадали ([math]lim_{x \to 0+} \ln(ctg(x)) = +\infty , lim_{x \to 0+} \ln(x) = -\infty[/math])и в этом случае применение Лопиталя было бы оправдано для изначального выражения с котангенсом.

Т.е [math]\frac {\ln(ctg(x))}{\ln{x}} = \frac {\infty }{-\infty} = -(\frac {-\ln(ctg(x))}{\ln{x}}) = -\frac {-\infty }{-\infty} = -\frac {\frac{1}{sin^2(x) \cdot \frac {cos(x)}{sin(x)}}} {\frac {1}{x}} = -\frac {x}{sin(x) \cdot cos(x)} = -\frac {1}{\frac {sin(x)*1}{x}} = -\frac {1}{1} = -1[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/