| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=39017 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | afraumar [ 14 фев 2015, 11:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
Добрый день! Не получается доказать. При x стремящимся к 0 lim ((1+x)^½) - 1) / x = ½ Если х стремится к 0, то lim ((1+x)^½) = 1. Если я правильно понимаю, что lim ((1+x)^½)/х тоже будет равен 1. И отнимается далее lim 1/х. Так почему же лимит всего выражения равен ½? Спасибо! |
|
| Автор: | Avgust [ 14 фев 2015, 11:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда [math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math] Это вытекает из формулы Тейлора. Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы. |
|
| Автор: | victor1111 [ 14 фев 2015, 11:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
Можно также воспользоваться правилом Лопиталя. |
|
| Автор: | Prokop [ 14 фев 2015, 11:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое" [math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math] |
|
| Автор: | afraumar [ 14 фев 2015, 12:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
Prokop писал(а): На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое" [math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math] Большое спасибо! |
|
| Автор: | afraumar [ 14 фев 2015, 12:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
Avgust писал(а): Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда [math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math] Это вытекает из формулы Тейлора. Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы. Спасибо. Это я вижу. Я бы очень хотела именно понять, не выучить - выучить просто ))) |
|
| Автор: | Prokop [ 14 фев 2015, 17:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2 |
[math]\beta = \sqrt{1 + x}- 1[/math] [math]\alpha = \frac{1}{2}x[/math] Вообще, при [math]x \to 0[/math] справедлива формула [math]{\left({1 + x}\right)^p}- 1 \sim p \cdot x[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|