Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=39017
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 14 фев 2015, 11:34 ]
Заголовок сообщения:  Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Добрый день!

Не получается доказать. При x стремящимся к 0 lim ((1+x)^½) - 1) / x = ½

Если х стремится к 0, то lim ((1+x)^½) = 1. Если я правильно понимаю, что lim ((1+x)^½)/х тоже будет равен 1. И отнимается далее lim 1/х.

Так почему же лимит всего выражения равен ½?

Спасибо!

Автор:  Avgust [ 14 фев 2015, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда

[math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math]

Это вытекает из формулы Тейлора.
Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы.

Автор:  victor1111 [ 14 фев 2015, 11:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Можно также воспользоваться правилом Лопиталя.

Автор:  Prokop [ 14 фев 2015, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]

Автор:  afraumar [ 14 фев 2015, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Prokop писал(а):
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]


Большое спасибо!

Автор:  afraumar [ 14 фев 2015, 12:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Prokop писал(а):
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]


Скажите, пожалуйста, в случае, когда числитель объясняется с помощью правила бесконечно малых величин (1+х)^½ - 1 = ½ x, я не понимаю, какое является ли (1+х)^½ бетой согласно приложенной картинке?
Изображение

Автор:  afraumar [ 14 фев 2015, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

Avgust писал(а):
Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда

[math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math]

Это вытекает из формулы Тейлора.
Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы.

Спасибо. Это я вижу. Я бы очень хотела именно понять, не выучить - выучить просто )))

Автор:  Prokop [ 14 фев 2015, 17:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2

[math]\beta = \sqrt{1 + x}- 1[/math]
[math]\alpha = \frac{1}{2}x[/math]
Вообще, при [math]x \to 0[/math] справедлива формула
[math]{\left({1 + x}\right)^p}- 1 \sim p \cdot x[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/