Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 11:34 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Не получается доказать. При x стремящимся к 0 lim ((1+x)^½) - 1) / x = ½

Если х стремится к 0, то lim ((1+x)^½) = 1. Если я правильно понимаю, что lim ((1+x)^½)/х тоже будет равен 1. И отнимается далее lim 1/х.

Так почему же лимит всего выражения равен ½?

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 11:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13569
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1292
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда

[math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math]

Это вытекает из формулы Тейлора.
Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 11:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно также воспользоваться правилом Лопиталя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 11:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
afraumar
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 12:13 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]


Большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 12:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
На жаргоне этот метод называют: умножение на "сопряжённое"
[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + x}- 1}}{x}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\left({\sqrt{1 + x}- 1}\right)\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{x}{{x\left({\sqrt{1 + x}+ 1}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{{\sqrt{1 + x}+ 1}}= \frac{1}{2}[/math]


Скажите, пожалуйста, в случае, когда числитель объясняется с помощью правила бесконечно малых величин (1+х)^½ - 1 = ½ x, я не понимаю, какое является ли (1+х)^½ бетой согласно приложенной картинке?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 12:25 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Есть такая таблица, называется ЭБМ - эквивалентные бесконечно малые. И оттуда

[math]\sqrt{1+u}- 1 \sim \frac u2\, \qquad( u \to 0 )[/math]

Это вытекает из формулы Тейлора.
Таблицу ЭБМ нужно так же хорошо знать, как табличные интегралы.

Спасибо. Это я вижу. Я бы очень хотела именно понять, не выучить - выучить просто )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Lim ((√1+x)-1)/x = 1/2
СообщениеДобавлено: 14 фев 2015, 17:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\beta = \sqrt{1 + x}- 1[/math]
[math]\alpha = \frac{1}{2}x[/math]
Вообще, при [math]x \to 0[/math] справедлива формула
[math]{\left({1 + x}\right)^p}- 1 \sim p \cdot x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
afraumar
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved