Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Теоретическая задача про нижнюю грань
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=35956
Страница 1 из 1

Автор:  letunx [ 08 окт 2014, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Теоретическая задача про нижнюю грань

Доказать, что числовая последовательность Хn (n = 1, 2, ....), стремящаяся к +бесконечности, обязательно достигает своей нижней грани.

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. :)

Автор:  3D Homer [ 08 окт 2014, 22:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача про нижнюю грань

Пусть [math]x_n\to+\infty[/math]. Возьмем любое число [math]a>x_1[/math]. По определению предела существует такое [math]N[/math], что [math]x_n>a[/math] для всех [math]n>N[/math]. Значит, множество [math]\{x_n\}_{n=1}^\infty[/math] разбивается на два подмножества: непустое (так как содержит [math]x_1[/math]) конечное множество чисел [math]\le a[/math] и бесконечное множество чисел [math]>a[/math]. Нижняя грань равна нижней грани первого подмножества, а так как оно конечно, то равно минимуму этого подмножества.

Автор:  letunx [ 09 окт 2014, 16:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача про нижнюю грань

Спасибо!
А откуда взялось Xn>a?
По определению предела |Xn-a|<E же?
И почему первое подмножество является конечным?

Автор:  3D Homer [ 09 окт 2014, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача про нижнюю грань

letunx писал(а):
А откуда взялось Xn>a?
По определению предела |Xn-a|<E же?
Предел на к [math]a[/math], а к [math]+\infty[/math]. По определению он означает, что для любого [math]b[/math] существует [math]N[/math] такое, что [math]x_n>b[/math] для всех [math]n>N[/math]. Здесь мы берем [math]b=a[/math].

letunx писал(а):
И почему первое подмножество является конечным?
Потому что [math]x_n>a[/math] для всех [math]n>N[/math]. Значит, если [math]x_n\le a[/math], то [math]n\le N[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/