Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=33652
Страница 1 из 1

Автор:  lllulll [ 25 май 2014, 05:13 ]
Заголовок сообщения:  Предел

Помогите пожалуйста решить данный предел
[math]\lim_{x \to \infty }\left( \left( 1-x^{3} \right) ^{\frac{ 1 }{ 3 } }+x \right)[/math]

Автор:  dr Watson [ 25 май 2014, 05:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Решить предел невозможно, иногда можно вычислить. В данном случае Тейлором однострочно

[math](1+h)^\mu=1+\mu h + o(h)[/math] при [math]h\to 0[/math]

Другой вариант - домножить и поделить на сопряжённое.

Автор:  lllulll [ 25 май 2014, 06:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Домножив на сопряженное у меня получилось так в итоге:
[math]\lim_{ x\to \infty \frac { x \cdot \left(\left( \frac{ 1 }{ x^{3} }-1 \right) ^{\frac{ 2 }{ 3 } } -1 \right) }{\left( \frac{ 1 }{ x^{3} }-1 \right) ^{\frac{ 1 }{ 3 } } -1 } }[/math]


И в числители все равно остается неопределенность, что делать дальше подскажите, пожалуйста

Автор:  Yurik [ 25 май 2014, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

lllulll писал(а):
Домножив на сопряженное у меня получилось так в итоге:

Дополнять нужно до суммы кубов, а не до разности квадратов. Но всё равно в знаменателе получится неопределённость [math]\infty- \infty[/math] (неполная разность квадратов). Как от неё избавиться, не знаю. Возможен такой вариант решения:
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x\left( {{{\left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - x}}{{ - 3{x^3}}}} \right) = 0[/math]

Автор:  Yurik [ 25 май 2014, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Yurik писал(а):
Дополнять нужно до суммы кубов

Можно устроить разность кубов, если вынести [math]-1[/math] из под кубического корня. Тогда всё получается.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x - {{\left( {{x^3} - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} - {x^3} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {{x^3} - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}x + {{\left( {{x^3} - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}}} = 0[/math]

Автор:  lllulll [ 25 май 2014, 15:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

А не могли бы Вы объяснить, как вы так разложили?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/