Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Раскрытие неопределенности inf/inf
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=33236
Страница 1 из 2

Автор:  b10s [ 10 май 2014, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Раскрытие неопределенности inf/inf

Здравтсвуйте, уважаемые!

Имею необходимость отыскать следующий предел:

[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 1^{4}+3^{4} \ldots (2n-1)^{4} }{ n^{5} }[/math]

1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: [math]\frac{ 1^{4}+(2n -1)^{4} }{ 2 } \times n[/math]

2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: [math]\frac{ 384n}{ 60n^{2} }[/math]

что в итоге даёт применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при [math]x \to \infty[/math] , то предел равен 0.

Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ).

Где неправ?

Автор:  Wersel [ 10 май 2014, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

b10s писал(а):
1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде:

После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно.

Автор:  b10s [ 10 май 2014, 22:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Wersel писал(а):
b10s писал(а):
1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде:

После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно.


- не могли бы Вы показать на примере?
- что значит нормальный вид?
- по каким посылам и что "это" будет ясно?

расчет в итоге верен, предел равен 0 ?

спасибо )

Автор:  Wersel [ 10 май 2014, 23:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math].

Вот это правило:
b10s писал(а):
если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0.

Нужно применить после второго пункта.

Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.

Автор:  b10s [ 10 май 2014, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Wersel писал(а):
Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math].

Вот это правило:
b10s писал(а):
если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0.

Нужно применить после второго пункта.

Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.


Еще больше неопределенности!

1) Я не могу понять, как можно из моего исходного выражения поулчить дробь вида [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math]

2) Я не могу понять, как можно применить правило
Цитата:
если степень знаменателя выше степени числителя при [math]n\to \infty[/math] , то предел равен 0.
и поулчить
Цитата:
[math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.

Автор:  Wersel [ 10 май 2014, 23:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

[math]\frac{1+(2n-1)^4}{2} \n[/math]

Сначала раскройте скобку в числителе, и приведите подобные слагаемые.

Автор:  Yurik [ 11 май 2014, 10:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Где Вы там геометрическую прогрессию нашли? А написали формулу для суммы арифметической прогрессии, и её там нет.
[math]\sum\limits_1^n {{{\left( {2k - 1} \right)}^4} = \frac{1}{{15}}\left( {48{n^5} - 40{n^3} + 7n} \right)}[/math]

Автор:  b10s [ 11 май 2014, 12:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Yurik, спасибо!
Пару вопросов, если позволите:

1) Не могли бы Вы объяснить как произвели это преобразование?
2) А потом по Лопиталю или каким бы Вы пошли путем при решении этого предела?

Автор:  Yurik [ 11 май 2014, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Честно скажу, как находить эту сумму не знаю, посмотрел на Вольфраме. Может, Wersel подскажет.
А пределы такие ищутся стандартным способом - делите числитель и знаменатель на [math]n[/math] в максимальной счтепени (у Вас [math]n^5[/math]) и получите то, о чём Вам уже говорил Wersel.

Автор:  b10s [ 11 май 2014, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Раскрытие неопределенности inf/inf

Я пересчитал. У меня предел вообще получился равен 8.
Вверху, совершенно точно, сумма арифметической прогрессии. Причем сумма всех нечетных чисел. Тут есть небольшая магия. Берем общую формулу суммы арифметической прогрессии: [math]\frac{ a + l }{ 2 } \times n[/math] и подставляем туда нашу, где каждый элемент ряда это нечетное число, получаем

[math]\frac{ 1 + (2n-1) }{ 2 } \times n = n^{2}[/math]

но вот незадача! у нас каждый член не только нечетное число, но и число в четвертой степени. Эта магия уже не работает. Или таки можно как-то достичь магического преобразования?(вопрос 1)

Дальше, не унывая. Берем уже по-настоящему нашу прогрессию и подставляем в формулу суммы: [math]\frac{ 1 + (2n-1)^{4} }{ 2 } \times n = 8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n[/math] - путём раскрытия скобок. И вот у нас уже стпень числителя равна степени знаменателя в изначальном пределе:

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n }{ n^{5} } = \lim_{n \to \infty } 8 - \frac{ 16 }{ n } + \frac{ 12 }{ n^{2} } - \frac{ 4 }{ n^{3} } + \frac{ 1 }{ n^{4} } = 8[/math]

где неправ? (вопрос 2)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/