| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Раскрытие неопределенности inf/inf http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=33236 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | b10s [ 10 май 2014, 22:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Раскрытие неопределенности inf/inf |
Здравтсвуйте, уважаемые! Имею необходимость отыскать следующий предел: [math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 1^{4}+3^{4} \ldots (2n-1)^{4} }{ n^{5} }[/math] 1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: [math]\frac{ 1^{4}+(2n -1)^{4} }{ 2 } \times n[/math] 2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: [math]\frac{ 384n}{ 60n^{2} }[/math] что в итоге даёт применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при [math]x \to \infty[/math] , то предел равен 0. Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ). Где неправ? |
|
| Автор: | Wersel [ 10 май 2014, 22:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
b10s писал(а): 1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно. |
|
| Автор: | b10s [ 10 май 2014, 22:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Wersel писал(а): b10s писал(а): 1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно. - не могли бы Вы показать на примере? - что значит нормальный вид? - по каким посылам и что "это" будет ясно? расчет в итоге верен, предел равен 0 ? спасибо ) |
|
| Автор: | Wersel [ 10 май 2014, 23:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math]. Вот это правило: b10s писал(а): если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0. Нужно применить после второго пункта. Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку. |
|
| Автор: | b10s [ 10 май 2014, 23:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Wersel писал(а): Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math]. Вот это правило: b10s писал(а): если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0. Нужно применить после второго пункта. Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку. Еще больше неопределенности! 1) Я не могу понять, как можно из моего исходного выражения поулчить дробь вида [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math] 2) Я не могу понять, как можно применить правило Цитата: если степень знаменателя выше степени числителя при [math]n\to \infty[/math] , то предел равен 0. и поулчить Цитата: [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.
|
|
| Автор: | Wersel [ 10 май 2014, 23:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
[math]\frac{1+(2n-1)^4}{2} \n[/math] Сначала раскройте скобку в числителе, и приведите подобные слагаемые. |
|
| Автор: | Yurik [ 11 май 2014, 10:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Где Вы там геометрическую прогрессию нашли? А написали формулу для суммы арифметической прогрессии, и её там нет. [math]\sum\limits_1^n {{{\left( {2k - 1} \right)}^4} = \frac{1}{{15}}\left( {48{n^5} - 40{n^3} + 7n} \right)}[/math] |
|
| Автор: | b10s [ 11 май 2014, 12:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Yurik, спасибо! Пару вопросов, если позволите: 1) Не могли бы Вы объяснить как произвели это преобразование? 2) А потом по Лопиталю или каким бы Вы пошли путем при решении этого предела? |
|
| Автор: | Yurik [ 11 май 2014, 12:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Честно скажу, как находить эту сумму не знаю, посмотрел на Вольфраме. Может, Wersel подскажет. А пределы такие ищутся стандартным способом - делите числитель и знаменатель на [math]n[/math] в максимальной счтепени (у Вас [math]n^5[/math]) и получите то, о чём Вам уже говорил Wersel. |
|
| Автор: | b10s [ 11 май 2014, 14:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Раскрытие неопределенности inf/inf |
Я пересчитал. У меня предел вообще получился равен 8. Вверху, совершенно точно, сумма арифметической прогрессии. Причем сумма всех нечетных чисел. Тут есть небольшая магия. Берем общую формулу суммы арифметической прогрессии: [math]\frac{ a + l }{ 2 } \times n[/math] и подставляем туда нашу, где каждый элемент ряда это нечетное число, получаем [math]\frac{ 1 + (2n-1) }{ 2 } \times n = n^{2}[/math] но вот незадача! у нас каждый член не только нечетное число, но и число в четвертой степени. Эта магия уже не работает. Или таки можно как-то достичь магического преобразования?(вопрос 1) Дальше, не унывая. Берем уже по-настоящему нашу прогрессию и подставляем в формулу суммы: [math]\frac{ 1 + (2n-1)^{4} }{ 2 } \times n = 8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n[/math] - путём раскрытия скобок. И вот у нас уже стпень числителя равна степени знаменателя в изначальном пределе: [math]\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n }{ n^{5} } = \lim_{n \to \infty } 8 - \frac{ 16 }{ n } + \frac{ 12 }{ n^{2} } - \frac{ 4 }{ n^{3} } + \frac{ 1 }{ n^{4} } = 8[/math] где неправ? (вопрос 2) |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|