Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 20:41
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравтсвуйте, уважаемые!

Имею необходимость отыскать следующий предел:

[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 1^{4}+3^{4} \ldots (2n-1)^{4} }{ n^{5} }[/math]

1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: [math]\frac{ 1^{4}+(2n -1)^{4} }{ 2 } \times n[/math]

2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: [math]\frac{ 384n}{ 60n^{2} }[/math]

что в итоге даёт применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при [math]x \to \infty[/math] , то предел равен 0.

Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ).

Где неправ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 22:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
b10s писал(а):
1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде:

После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
b10s
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 22:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 20:41
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel писал(а):
b10s писал(а):
1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде:

После этого, приведите выражение, которое находится под пределом, к нормальному виду, и не надо никаких Лопиталей, все и так будет ясно.


- не могли бы Вы показать на примере?
- что значит нормальный вид?
- по каким посылам и что "это" будет ясно?

расчет в итоге верен, предел равен 0 ?

спасибо )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 23:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math].

Вот это правило:
b10s писал(а):
если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0.

Нужно применить после второго пункта.

Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 23:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 20:41
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel писал(а):
Под нормальным видом, в данном случае, я подразумевал дробь вида: [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math].

Вот это правило:
b10s писал(а):
если степень знаменателя выше степени числителя при , то предел равен 0.

Нужно применить после второго пункта.

Предел будет равен [math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.


Еще больше неопределенности!

1) Я не могу понять, как можно из моего исходного выражения поулчить дробь вида [math]\frac{ax^n + bx^{n-1}+ ... +c}{dx^m + ex^{m-1}+ ... +f}[/math]

2) Я не могу понять, как можно применить правило
Цитата:
если степень знаменателя выше степени числителя при [math]n\to \infty[/math] , то предел равен 0.
и поулчить
Цитата:
[math]\frac{16}{5}[/math], на вскидку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 10 май 2014, 23:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{1+(2n-1)^4}{2} \n[/math]

Сначала раскройте скобку в числителе, и приведите подобные слагаемые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 11 май 2014, 10:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где Вы там геометрическую прогрессию нашли? А написали формулу для суммы арифметической прогрессии, и её там нет.
[math]\sum\limits_1^n {{{\left( {2k - 1} \right)}^4} = \frac{1}{{15}}\left( {48{n^5} - 40{n^3} + 7n} \right)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
b10s
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 11 май 2014, 12:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 20:41
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik, спасибо!
Пару вопросов, если позволите:

1) Не могли бы Вы объяснить как произвели это преобразование?
2) А потом по Лопиталю или каким бы Вы пошли путем при решении этого предела?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 11 май 2014, 12:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Честно скажу, как находить эту сумму не знаю, посмотрел на Вольфраме. Может, Wersel подскажет.
А пределы такие ищутся стандартным способом - делите числитель и знаменатель на [math]n[/math] в максимальной счтепени (у Вас [math]n^5[/math]) и получите то, о чём Вам уже говорил Wersel.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Раскрытие неопределенности inf/inf
СообщениеДобавлено: 11 май 2014, 14:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 20:41
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я пересчитал. У меня предел вообще получился равен 8.
Вверху, совершенно точно, сумма арифметической прогрессии. Причем сумма всех нечетных чисел. Тут есть небольшая магия. Берем общую формулу суммы арифметической прогрессии: [math]\frac{ a + l }{ 2 } \times n[/math] и подставляем туда нашу, где каждый элемент ряда это нечетное число, получаем

[math]\frac{ 1 + (2n-1) }{ 2 } \times n = n^{2}[/math]

но вот незадача! у нас каждый член не только нечетное число, но и число в четвертой степени. Эта магия уже не работает. Или таки можно как-то достичь магического преобразования?(вопрос 1)

Дальше, не унывая. Берем уже по-настоящему нашу прогрессию и подставляем в формулу суммы: [math]\frac{ 1 + (2n-1)^{4} }{ 2 } \times n = 8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n[/math] - путём раскрытия скобок. И вот у нас уже стпень числителя равна степени знаменателя в изначальном пределе:

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{5} - 16n^{4}+12n^{3}-4n^{2}+n }{ n^{5} } = \lim_{n \to \infty } 8 - \frac{ 16 }{ n } + \frac{ 12 }{ n^{2} } - \frac{ 4 }{ n^{3} } + \frac{ 1 }{ n^{4} } = 8[/math]

где неправ? (вопрос 2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Раскрытие неопределенности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jazzy546

1

283

12 янв 2017, 19:20

Раскрытие неопределенности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

muslera

3

309

12 ноя 2017, 15:30

Раскрытие неопределённости, Демидович

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

anpe0681

2

362

29 ноя 2016, 01:02

Раскрытие модуля

в форуме Алгебра

Bonaqua

14

1021

03 май 2015, 16:13

Раскрытие скобокс

в форуме Алгебра

Wait4Tu

1

126

25 сен 2021, 07:49

Раскрытие неопределенностей (нужен комментарий)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ObsLevia

7

315

09 авг 2017, 18:50

Неравенство с параметром, раскрытие модулей

в форуме Алгебра

Denimm

3

558

07 май 2015, 01:42

Логарифм неопределенности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

[K]Fantom

32

1394

10 янв 2017, 12:53

Я до сих пор не понимаю принцип неопределенности

в форуме Школьная физика

hafer

0

155

31 июл 2024, 16:08

По формулам Лопиталя раскрыть неопределенности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

helpmeplis

0

373

06 ноя 2016, 11:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved