| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решение предела с элементами тригонометрии http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=33185 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Решение предела с элементами тригонометрии |
Уважаемые форумчане, Добрый день. Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы. Сам пример: [math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math] Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило? |
|
| Автор: | victor1111 [ 09 май 2014, 08:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
iLoveSkA писал(а): Уважаемые форумчане, Добрый день. Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы. Сам пример: [math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math] Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило? Известно, что lim sinx/x=1 при x->0. |
|
| Автор: | iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть. Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях. |
|
| Автор: | victor1111 [ 09 май 2014, 08:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
iLoveSkA писал(а): Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть. Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях. Из числителя перенесите один x в знаменатель. Получим sinx/x. |
|
| Автор: | iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
Ну, т.е. это фактически нужно домножить числитель и знаменатель дроби на 1/x, я вас правильно понимаю? В таком случае у нас останется только x * ctg(x) и т.к. первый множитель будет стремиться к нулю, мы делаем вывод, что предел равен 0. Верный вывод или нельзя просто так игнорировать значение, к которому стремится ctg(x)? Может необходимо расписать ctg(x) как отношение cos/sin и потом ещё раз помножить оставшееся выражение на 1/x? получим lim cos(x) x->0 |
|
| Автор: | Yurik [ 09 май 2014, 10:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
Распишите так. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] |
|
| Автор: | iLoveSkA [ 09 май 2014, 10:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
Yurik писал(а): Распишите так. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] В вашем решении, как я понимаю, мы также превращаем x / sin(x) в [math]\frac{ 1 }{ \frac{ \sin{x} }{ x } }[/math]. Моё предположение верно? Простите за дотошность, просто в первую очередь хочу реально осознать решение, а не просто его получить
|
|
| Автор: | Yurik [ 09 май 2014, 10:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
iLoveSkA писал(а): Моё предположение верно? Да, верно. |
|
| Автор: | iLoveSkA [ 09 май 2014, 10:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение предела с элементами тригонометрии |
Большое спасибо! В таком случае, подведу итог возможных решений: 1) Yurik писал(а): [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] 2)[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = *[/math] Домнажаем числитель и знаменатель на 1/x Получаем: [math]* = \lim_{x \to 0} x*\operatorname{ctg}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ x * \cos{x} }{ \sin{x} } = *[/math] Это также домнажаем на 1/x, получим: [math]* = \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|