Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение предела с элементами тригонометрии
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=33185
Страница 1 из 1

Автор:  iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:08 ]
Заголовок сообщения:  Решение предела с элементами тригонометрии

Уважаемые форумчане,
Добрый день.
Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы.
Сам пример:
[math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math]
Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило?

Автор:  victor1111 [ 09 май 2014, 08:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

iLoveSkA писал(а):
Уважаемые форумчане,
Добрый день.
Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы.
Сам пример:
[math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math]
Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило?

Известно, что lim sinx/x=1 при x->0.

Автор:  iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть.
Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях.

Автор:  victor1111 [ 09 май 2014, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

iLoveSkA писал(а):
Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть.
Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях.

Из числителя перенесите один x в знаменатель. Получим sinx/x.

Автор:  iLoveSkA [ 09 май 2014, 08:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

Ну, т.е. это фактически нужно домножить числитель и знаменатель дроби на 1/x, я вас правильно понимаю?
В таком случае у нас останется только x * ctg(x) и т.к. первый множитель будет стремиться к нулю, мы делаем вывод, что предел равен 0.

Верный вывод или нельзя просто так игнорировать значение, к которому стремится ctg(x)?

Может необходимо расписать ctg(x) как отношение cos/sin и потом ещё раз помножить оставшееся выражение на 1/x?
получим lim cos(x) x->0

Автор:  Yurik [ 09 май 2014, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

Распишите так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

Автор:  iLoveSkA [ 09 май 2014, 10:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

Yurik писал(а):
Распишите так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

В вашем решении, как я понимаю, мы также превращаем x / sin(x) в [math]\frac{ 1 }{ \frac{ \sin{x} }{ x } }[/math].
Моё предположение верно?

Простите за дотошность, просто в первую очередь хочу реально осознать решение, а не просто его получить :)

Автор:  Yurik [ 09 май 2014, 10:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

iLoveSkA писал(а):
Моё предположение верно?

Да, верно.

Автор:  iLoveSkA [ 09 май 2014, 10:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение предела с элементами тригонометрии

Большое спасибо!
В таком случае, подведу итог возможных решений:

1)
Yurik писал(а):
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

2)[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = *[/math] Домнажаем числитель и знаменатель на 1/x
Получаем:
[math]* = \lim_{x \to 0} x*\operatorname{ctg}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ x * \cos{x} }{ \sin{x} } = *[/math] Это также домнажаем на 1/x, получим:
[math]* = \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/