Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 08:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2014, 21:06
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане,
Добрый день.
Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы.
Сам пример:
[math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math]
Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 08:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
iLoveSkA писал(а):
Уважаемые форумчане,
Добрый день.
Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы.
Сам пример:
[math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math]
Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило?

Известно, что lim sinx/x=1 при x->0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 08:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2014, 21:06
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть.
Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 08:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
iLoveSkA писал(а):
Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть.
Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях.

Из числителя перенесите один x в знаменатель. Получим sinx/x.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю victor1111 "Спасибо" сказали:
iLoveSkA
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 08:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2014, 21:06
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, т.е. это фактически нужно домножить числитель и знаменатель дроби на 1/x, я вас правильно понимаю?
В таком случае у нас останется только x * ctg(x) и т.к. первый множитель будет стремиться к нулю, мы делаем вывод, что предел равен 0.

Верный вывод или нельзя просто так игнорировать значение, к которому стремится ctg(x)?

Может необходимо расписать ctg(x) как отношение cos/sin и потом ещё раз помножить оставшееся выражение на 1/x?
получим lim cos(x) x->0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю iLoveSkA "Спасибо" сказали:
victor1111
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 10:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Распишите так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
iLoveSkA
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 10:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2014, 21:06
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik писал(а):
Распишите так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

В вашем решении, как я понимаю, мы также превращаем x / sin(x) в [math]\frac{ 1 }{ \frac{ \sin{x} }{ x } }[/math].
Моё предположение верно?

Простите за дотошность, просто в первую очередь хочу реально осознать решение, а не просто его получить :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 10:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
iLoveSkA писал(а):
Моё предположение верно?

Да, верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
iLoveSkA
 Заголовок сообщения: Re: Решение предела с элементами тригонометрии
СообщениеДобавлено: 09 май 2014, 10:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2014, 21:06
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо!
В таком случае, подведу итог возможных решений:

1)
Yurik писал(а):
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math]

2)[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = *[/math] Домнажаем числитель и знаменатель на 1/x
Получаем:
[math]* = \lim_{x \to 0} x*\operatorname{ctg}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ x * \cos{x} }{ \sin{x} } = *[/math] Это также домнажаем на 1/x, получим:
[math]* = \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Имеется три схемы с ненадежными элементами

в форуме Теория вероятностей

kappa

8

545

19 апр 2016, 16:11

Задачи по теории вероятностей с элементами комбинаторики

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Shad00fff

2

631

01 апр 2021, 21:39

Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K1b0rg

3

280

10 фев 2021, 16:07

Решение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Maik

2

340

17 ноя 2016, 21:26

Решение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

StrudelBal

6

331

04 дек 2021, 11:30

Решение тригонометрического предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sinerpushk

2

220

27 дек 2015, 13:18

Проверить решение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

constantin01

1

199

02 май 2019, 15:45

Почему решение предела неправильное?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Hatori Hanzo

7

315

30 авг 2023, 16:37

Решение предела по правилу Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Maik

1

197

08 ноя 2016, 19:03

Решение предела с помощью интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Viki4

2

368

22 апр 2023, 14:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved